超越唯一配对：具有相等周长和面积的有理三角形的双参数族

中文摘要 AI 辅助

我们研究由有理等腰三角形和具有指定角度 $θ$ 的有理三角形组成的配对，要求两者具有相等的周长和相等的面积。记 $ρ=\cos(θ)\in\mathbb{Q}$，我们获得了这些解的双参数描述，并且对于固定的 $ρ$，得到一族曲线 $C_ρ$，这些曲线一般具有亏格 $2$。我们确定了两个奇异的特化情形：对于 $ρ=\frac{1}{2}$，不存在真正的配对；而对于 $ρ=\frac{47}{49}$，存在无穷多个真正的配对。我们完全参数化了两类自然的一参数族，其中 $θ$-三角形是等腰的，并证明了关于允许一个或多个真正配对的 $ρ$ 值的若干密度结果。对于 $ρ$ 的三十五个显式值，Chabauty--Coleman 计算完全确定了 $C_ρ(\mathbb{Q})$，并表明相应的配对在相差位似变换的意义下是唯一的。我们还研究了当一个三角形固定时的多重性；一个不等边 $θ$-三角形具有两个等腰伙伴的条件导致一个椭圆 $K3$ 曲面，并产生了这样的 $ρ$ 值的一个稠密集合。最后，我们构造了具有至少四个真正配对的无穷族，并展示了带有至少五个真正配对的例子，其中两个情形至少带有六个真正配对。

英文摘要

We study pairs consisting of a rational isosceles triangle and a rational triangle having a prescribed angle $θ$, with equal perimeter and equal area. Writing $ρ=\cos(θ)\in\mathbb{Q}$, we obtain a two-parameter description of the solutions and, for fixed $ρ$, a family of curves $C_ρ$ which are generically of genus $2$. We determine the two singular specializations: there is no genuine pair for $ρ=\frac{1}{2}$, while $ρ=\frac{47}{49}$ admits infinitely many genuine pairs. We completely parametrize two natural one-parameter families in which the $θ$-triangle is isosceles, and prove several density results for values of $ρ$ admitting one or more genuine pairs. For thirty-five explicit values of $ρ$, Chabauty--Coleman computations determine $C_ρ(\mathbb{Q})$ completely and show that the corresponding pair is unique up to homothety. We also study multiplicity when one triangle is fixed; the condition for a scalene $θ$-triangle to have two isosceles partners leads to an elliptic $K3$ surface and yields a dense set of such values of $ρ$. Finally, we construct infinite families with at least four genuine pairs and exhibit examples carrying at least five, and in two cases at least six, genuine pairs.

发表机构

• Université de Montréal（蒙特利尔大学）
• École Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

66 pages; includes an appendix with code