发表机构
Instituto de Matemática Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过构造边界强迫算子并利用 Besov 型 Bourgain 空间中的压缩论证，证明了半直线上 KdV 方程在临界正则性 $s=-3/4$ 下的局部适定性，填补了先前结果的端点空白。
AI 中文摘要
我们证明了右半直线上 Korteweg-de Vries 方程的初边值问题在临界正则性 $s=-3/4$ 下的局部适定性，其中初始数据和边界数据分别属于 $H^{-3/4}(\mathbb R_+)$ 和 $H^{1/12}(\mathbb R_+)$。这达到了先前 Holmer (2006) 以及 Bona, Sun 和 Zhang (2006) 的半直线结果中遗留的端点，他们建立了 $s>-3/4$ 时的局部适定性。证明基于 Kishimoto 引入的 Besov 型 Bourgain 空间中的压缩论证。主要困难在于构造一个与端点 $b=1/2$ 以及调制变量中所需的 $\ell^1$-可和性相容的边界强迫算子。我们利用线性半直线问题的拉普拉斯变换表示以及精心设计的对 $x<0$ 的延拓来构造这样的算子。该延拓结合了跨边界所需的正则性与指定的空间矩消失条件，从而产生相关核的有利低频行为。逐点核估计随后提供了关键的二进可和性，这是 $X^{-3/4,1/2,1}$ 估计所需的。结合 $b=1/2$ 时 Duhamel 项的时间迹估计，我们得到了临界局部适定性结果。这里使用的思想有望用于半直线上其他非线性色散方程。
英文摘要
We prove local well-posedness for the initial-boundary-value problem for the Korteweg--de Vries equation on the right half-line at the critical regularity $s=-3/4$, with initial and boundary data in $H^{-3/4}(\mathbb R_+)$ and $H^{1/12}(\mathbb R_+)$, respectively. This reaches the endpoint left open in the previous half-line results of Holmer (2006) and Bona, Sun, and Zhang (2006), who established local well-posedness for $s>-3/4$. The proof is based on a contraction argument in the Besov-type Bourgain space introduced by Kishimoto. The main difficulty is to construct a boundary forcing operator compatible with the endpoint $b=1/2$ and the required $\ell^1$-summability in the modulation variable. We construct such an operator using a Laplace-transform representation of the linear half-line problem and a carefully designed extension to $x<0$. The extension combines the required regularity across the boundary with prescribed vanishing spatial moments, yielding favorable low-frequency behavior of the associated kernel. A pointwise kernel estimate then provides the crucial dyadic summability needed for the $X^{-3/4,1/2,1}$ estimate. Together with a time-trace estimate for the Duhamel term at $b=1/2$, this yields the critical local well-posedness result. The ideas used here have prospects to be used in other nonlinear dispersive equations on the half-lines.
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