由 $p$-正则共轭类大小的不连通公因子图得到的可解性
Solubility from a disconnected common-divisor graph on $p$-regular conjugacy-class sizes
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中文总结 AI 辅助
本文证明若有限群 $G$ 的 $p$-正则元素共轭类大小的公因子图不连通，则 $G$ 可解，通过构造稳定化子并利用 Dolfi-Lucido 定理与 Burnside 定理排除非阿贝尔合成因子。
中文摘要 AI 辅助
设 $G$ 为有限群，$p$ 为素数。我们证明：若 $G$ 的 $p$-正则元素非平凡共轭类大小的公因子图不连通，则 $G$ 可解，从而解决了 Camina、Maróti、Pacifici、Parker、Rekvényi、Saunders、Sotomayor、Tracey 和 van Beek 所遗留的剩余情形。对于最大尺寸的 $p$-正则共轭类 $B$，他们的结构结果提供了一个阿贝尔正规 $p'$-子群 $M$。我们选取非中心的 $r$-元素 $x\in M$，使得 $r\mid |B|$ 且 $\gcd(|x^G|,pr)=1$，并证明 $C_G(x)/M$ 是 $\{p,r\}$-群。对于 $H=G/C_G(M)$，它通过共轭忠实作用于 $M$，由此可知 $x$ 的稳定化子 $H_x$ 是 Hall $\{p,r\}$-子群，且 $H$ 的每个 $p'$-元素的共轭类大小的素因子均属于 $\{p,r\}$。Dolfi 和 Lucido 的定理结合 Burnside 的 $p^a q^b$-定理，排除了 $H$ 的非阿贝尔合成因子。
英文摘要
Let $G$ be a finite group and let $p$ be a prime. We prove that if the common-divisor graph on the nontrivial conjugacy-class sizes of $p$-regular elements of $G$ is disconnected, then $G$ is soluble, resolving the remaining case left by Camina, Maróti, Pacifici, Parker, Rekvényi, Saunders, Sotomayor, Tracey and van Beek. For a $p$-regular conjugacy class $B$ of maximal size, their structure results provide an abelian normal $p'$-subgroup $M$. We choose a noncentral $r$-element $x\in M$ such that $r\mid |B|$ and $\gcd(|x^G|,pr)=1$, and prove that $C_G(x)/M$ is a $\{p,r\}$-group. For $H=G/C_G(M)$, acting faithfully on $M$ by conjugation, it follows that the stabilizer $H_x$ of $x$ is a Hall $\{p,r\}$-subgroup and that every $p'$-element of $H$ has conjugacy-class size whose prime divisors lie in $\{p,r\}$. The theorem of Dolfi and Lucido, together with Burnside's $p^a q^b$-theorem, then excludes nonabelian composition factors of $H$.
