块状矩阵与群幂等元
Blocky Matrices and Group Idempotents
- University of Cambridge（剑桥大学）
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AI总结：
本文统一推广了幂等Schur乘子的无维数分解定理与调和分析中的幂等定理，证明整值不变核可分解为至多2^{O(γ^4)}个初等块，并将矩阵分解指数从γ^6改进为γ^4。
AI中文摘要：
我们证明了两个结构定理的一个共同推广：幂等Schur乘子的无维数分解定理和调和分析中的幂等定理。粗略地说，我们的结果表明，一个具有Hilbert空间分解范数γ的整值不变核允许分解为至多2^{O(γ^4)}个初等块的带符号分解。在矩阵情形中，这些块是块状矩阵，而在群情形中，它们是陪集的指示函数。在局部紧阿贝尔情形中，这定量地加强了Green和Sanders的定理，而在非阿贝尔情形中，它给出了Host幂等定理的定量加强，对于有限群，则加强了Sanders的定量结果。它还将无维数矩阵分解中的指数从γ^6改进为γ^4。
英文摘要：
We prove a common generalization of two structure theorems: the dimension-free decomposition theorem for idempotent Schur multipliers and the idempotent theorem in harmonic analysis. Roughly speaking, our result shows that an invariant integer-valued kernel with Hilbert-space factorization norm $γ$ admits a signed decomposition into at most $2^{O(γ^4)}$ elementary pieces. In the matrix setting these pieces are blocky matrices, while in the group setting they are indicators of cosets. In the locally compact abelian setting this quantitatively strengthens the theorem of Green and Sanders, while in the non-abelian setting it gives a quantitative strengthening of Host's idempotent theorem and, for finite groups, of Sanders's quantitative result. It also improves the exponent in the dimension-free matrix decomposition from $γ^6$ to $γ^4$.
