有界秩随机矩阵的最大积和式
The Maximum Permanent of a Stochastic Matrix of Bounded Rank
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中文总结 AI 辅助
本文完整证明了2018年提出的关于有界秩随机矩阵最大积和式的猜想，给出了精确上界及等号成立条件。
中文摘要 AI 辅助
设 $A$ 为 $n\times n$ 随机矩阵，且 $\operatorname{rank}A\leq k$，其中 $1\leq k\leq n$。记 $n=qk+s$，其中 $0\leq s<k$。作者于2018年猜想 $\operatorname{per}A\leq (q!/q^q)^{k-s}((q+1)!/(q+1)^{q+1})^s$，等号成立当且仅当 $A=P(J_q^{\oplus(k-s)}\oplus J_{q+1}^{\oplus s})Q$，其中 $P,Q$ 为置换矩阵，$J_t$ 为所有元素均为 $1/t$ 的 $t\times t$ 矩阵。我们完整证明了该猜想。
英文摘要
Let $A$ be a stochastic $n\times n$ matrix with $\operatorname{rank}A\leq k$, where $1\leq k\leq n$. Write $n=qk+s$, where $0\leq s<k$. The author conjectured in 2018 that $\operatorname{per}A\leq (q!/q^q)^{k-s}((q+1)!/(q+1)^{q+1})^s$, with equality if and only if $A=P(J_q^{\oplus(k-s)}\oplus J_{q+1}^{\oplus s})Q$, where $P,Q$ are permutation matrices and $J_t$ is the $t\times t$ matrix with every entry $1/t$. We prove this conjecture in full.
