等变多项式系统关于反射群 $G(r,n)$ 的结式
Resultant of an equivariant polynomial system with respect to the reflection group $G(r,n)$
- Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques, IMSP, Université d’Abomey-Calavi（阿波美-卡拉维大学物理与数学研究所）
- Université Thomas Sankara（托马斯桑卡拉大学）
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AI总结：
本文针对复反射群$G(r,n)$等变齐次多项式系统，利用分拆索引的差商建立结式分解公式，并结合结式-判别式关系将不变齐次多项式的判别式分解为更小子系统结式之积，简化计算并给出实例。
AI中文摘要：
我们考虑在复反射群 $G(r,n) = (\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})^n \rtimes S_n$ 下等变的齐次多元多项式系统。利用由 $n$ 的分拆索引的差商，我们建立了一个分解公式，将该系统的结式表示为更小的、按分拆索引的子系统的结式之积。结合经典的结式-判别式关系，我们证明了 $G(r,n)$-不变齐次多项式的判别式可以显式地分解为更小子系统的结式之积，从而大大简化了计算；我们通过具体实例展示了这两种分解。
英文摘要：
We consider systems of homogeneous multivariate polynomials equivariant under the complex reflection group $G(r,n) = (\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})^n \rtimes S_n$. Using divided differences indexed by partitions of $n$, we establish a decomposition formula expressing the resultant of such a system as a product of resultants of smaller, partition-indexed subsystems. Combining this with the classical resultant--discriminant relation, we show that the discriminant of a $G(r,n)$-invariant homogeneous polynomial splits explicitly into a product of resultants of smaller subsystems, considerably easier to compute; we illustrate both decompositions with worked examples.
