AI 中文总结
本文刻画了极小紧Kähler曲面的正标量曲率Kähler锥，并证明在双有理态射到斜率不稳定规则曲面时存在无正标量曲率度量的Kähler类，给出双有理障碍。
AI 中文摘要
我们刻画了Kodaira维数为$ -\infty $的每个极小紧Kähler曲面的正标量曲率Kähler锥。根据Enriques--Kodaira分类，每个这样的曲面要么是$\mathbb{P}^2$，要么是几何规则曲面$\mathbb{P}(E)\to\Sigma_g$，其中$E$是亏格为$g$的紧黎曼曲面上的秩二全纯向量丛。在$\mathbb{P}^2$上，每个Kähler类都允许一个正标量曲率的Kähler度量，而在$\mathbb{P}(E)$上，每个具有正总标量曲率的Kähler类允许一个正标量曲率的度量当且仅当$g\le1$或$E$是斜率半稳定的。我们进一步证明，如果一个光滑紧Kähler曲面允许一个到规则曲面$\mathbb{P}(E)\to\Sigma_g$的双有理态射，其中$g\ge2$且$E$是斜率不稳定的，那么它包含一个具有正总标量曲率的Kähler类，该类不允许任何正标量曲率的Kähler度量。
英文摘要
We characterize the positive scalar curvature Kähler cone of every minimal compact Kähler surface with Kodaira dimension $-\infty$. By the Enriques--Kodaira classification, every such surface is either $\mathbb{P}^2$ or a geometrically ruled surface $\mathbb{P}(E)\toΣ_g$, where $E$ is a rank-two holomorphic vector bundle over a compact Riemann surface of genus $g$. On $\mathbb{P}^2$, every Kähler class admits a Kähler metric of positive scalar curvature, whereas on $\mathbb{P}(E)$, every Kähler class of positive total scalar curvature admits a metric of positive scalar curvature if and only if $g\le1$ or $E$ is slope-semistable. We further prove that if a smooth compact Kähler surface admits a birational morphism onto a ruled surface $\mathbb{P}(E)\toΣ_g$, where $g\ge2$ and $E$ is slope-unstable, then it contains a Kähler class of positive total scalar curvature admitting no positive scalar curvature Kähler metric.
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