Vu 定理关于非整数指数经济子基的近似版本
An Approximate Version of Vu's Theorem on Economical Subbases For Non-Integer Exponents
AI总结：
该论文证明了 Vu 关于经济基定理在非整数幂下的近似版本，给出了存在集合 𝔛 使得解数满足渐近等价条件，推广了原有结果。
AI中文摘要：
我们证明了 Vu 关于 k 次幂经济基定理在非整数幂情形下的近似类比。固定一个非整数 θ>2 和实数 τ>0。若 θ>3，令 s ≥ θ²+9θ^{3/2}+2；若 2<θ<3，令 s ≥ (⌊2θ⌋+1)(⌊2θ⌋+2)+1。我们证明了存在一个集合 𝔛⊆ℕ，使得方程 |x₁^θ+⋯+x_s^θ−Λ|<τ 的整数解 (x₁,…,x_s)∈𝔛^s 的个数 R_{𝔛,s,θ,τ}(Λ) 对所有充分大的实数 Λ>0 满足 R_{𝔛,s,θ,τ}(Λ) ≍ τ log(Λ)。
英文摘要：
We prove an approximate analog of Vu's Theorem on economical bases of $k$th powers for non-integer powers. Fix a non-integer $θ> 2$ and real $τ> 0$. Let $s \geq θ^2+9θ^{3/2}+2 $ if $θ> 3$ and $s \geq (\lfloor 2θ\rfloor+1)(\lfloor 2θ\rfloor+2)+1$ if $2 < θ< 3$. We show the existence of a set $\mathfrak{X} \subseteq \mathbb{N}$ such that the number $R_{\mathfrak{X},s,θ,τ}(Λ)$ of integer solutions $(x_1,\ldots,x_s) \in \mathfrak{X}^s$ to the equation \begin{align*} |x_1^θ +\cdots+ x_s^θ - Λ| < τ\end{align*} satisfies $R_{\mathfrak{X},s,θ,τ}(Λ) \asymp τ\log(Λ)$ for all sufficiently large real $Λ> 0$.
