关于 $\mathbb Z_3$-Ramsey 数的一个问题
On a problem concerning $\mathbb Z_3$-Ramsey numbers
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中文总结 AI 辅助
本文研究图G的Z_3-Ramsey数R(G,Z_3)，证明当n≥6且3整除边数时，R(G,Z_3)≤n+5；若含诱导P_4或2K_2则≤n+4，从而解决Caro和Mifsud提出的问题，即R(G,Z_3)≤|V(G)|+8且等号仅当G≅K_3时成立。
中文摘要 AI 辅助
对于满足 $3\mid e(G)$ 的图 $G$，令 $R(G,\mathbb Z_3)$ 表示最小的整数 $N$，使得每个边加权 $w:E(K_N)\to\mathbb Z_3$ 都包含一个 $G$ 的副本，其边权之和为零。我们证明每个满足 $n\ge6$ 且 $3\mid e(G)$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 都有 $R(G,\mathbb Z_3)\le n+5$。此外，当 $G$ 包含一个诱导 $P_4$ 或诱导 $2K_2$ 时，更强的界 $R(G,\mathbb Z_3)\le n+4$ 成立。因此，我们解决了 Caro 和 Mifsud 提出的一个问题：每个满足 $3\mid e(G)$ 的图 $G$ 都有 $R(G,\mathbb Z_3)\le |V(G)|+8$，当且仅当 $G\cong K_3$ 时等号成立。
英文摘要
For a graph $G$ with $3\mid e(G)$, let $R(G,\mathbb Z_3)$ denote the least integer $N$ such that every edge weighting $w:E(K_N)\to\mathbb Z_3$ admits a copy of $G$ whose edge weights sum to zero. We prove that every $n$-vertex graph $G$ with $n\ge6$ and $3\mid e(G)$ satisfies $R(G,\mathbb Z_3)\le n+5$. Moreover, the stronger bound $R(G,\mathbb Z_3)\le n+4$ holds whenever $G$ contains an induced $P_4$ or an induced $2K_2$. Consequently, we resolve a problem posed by Caro and Mifsud: every graph $G$ with $3\mid e(G)$ satisfies $R(G,\mathbb Z_3)\le |V(G)|+8$, with equality if and only if $G\cong K_3$.
