发表机构
Sun Yat-sen University（中山大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 $ax+b$ 型群上波动方程解的弱型 $(1,1)$ 估计，给出关于初始数据正则性指数的充要条件，并证明时间多项式增长因子最优。
AI 中文摘要
设 $G$ 为群 $\mathbb{R}_+\ltimes \mathbb{R}^n$，赋予黎曼对称空间度量 $d$ 和右哈尔测度 $\mathrm{d} \rho$，其属于 $ax+b$ 型。设 $L$ 为 $G$ 上正定且可区分的左不变拉普拉斯算子。设 $u=u(t,\cdot)$ 为方程 $u_{tt}+Lu=0$ 在初始条件 $u|_{t=0}=f$ 和 $u_t|_{t=0}=g$ 下的解。本文证明：对于固定的 $t \in\mathbb{R}\setminus\{0\}$，不等式 $\\|u(t,\cdot)\\|_{L^{1,\infty}(G,\mathrm{d}\rho)}\leq C\\ (1+|t|)\big(\\|(\operatorname{Id}+L)^{\alpha_0/2}f\\|_{L^1(G,\mathrm{d}\rho)} +\\|(\operatorname{Id}+L)^{\alpha_1/2}g\\|_{L^1(G,\mathrm{d}\rho)}\big)$ 成立当且仅当 $\alpha_0\geq {n/2}$ 且 $\alpha_1\geq n/2-1$。此外，上述估计中关于时间的多项式增长因子 $1+|t|$ 是最优的。
英文摘要
Let $G$ be the group $\mathbb{R}_+\ltimes \mathbb{R}^n$ endowed with Riemannian symmetric space metric $d$ and the right Haar measure $\mathrm{d} ρ$ which is of $ax+b$ type, and $L$ be the positive definite distinguished left-invariant Laplacian on $G$. Let $u=u(t,\cdot)$ be the solution to $u_{tt}+Lu=0$ with initial conditions $u|_{t=0}=f$ and $u_t|_{t=0}=g$. In this article we show that for a fixed $t \in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, \begin{align*} \|u(t,\cdot)\|_{L^{1,\infty}(G,\mathrm{d}ρ)}\leq C\ (1+|t|)\big(\|(\operatorname{Id}+L)^{α_0/2}f\|_{L^1(G,\mathrm{d}ρ)} +\|(\operatorname{Id}+L)^{α_1/2}g\|_{L^1(G,\mathrm{d}ρ)}\big) \end{align*} if and only if $α_0\geq {n/2}$ and $α_1\geq n/2-1$. Moreover, the polynomial-in-time growth $1+|t|$ in the above estimate is best possible.
