一组具有最优 $L^2$ 球冠偏差的点集
A set of points with optimal $L^2$ spherical cap discrepancy
- Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）
- Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
- Barcelona Graduate School of Mathematics（巴塞罗那数学研究生院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文构造了显式的确定性钻石点集，证明其 Riesz 能量亏损最优，进而通过 Stolarsky 原理得到 $L^2$ 球冠偏差渐近最优，并推广至 Sobolev 最坏情况误差。
AI中文摘要：
我们引入了一个显式的确定性球面点集 $\cP_N\subset\mathbb S^2$，称之为“确定性钻石点”。对于每个 $0<\alpha<2$，我们证明存在常数 $C_\alpha>0$ 使得 \\[ 0\leq \frac{2^{\alpha+1}}{\alpha+2}N^2-\sum_{x,y\in\cP_N}|x-y|^\alpha\le C_\alpha N^{1-\alpha/2}. \\] 该结果表明，在此参数范围内，$\cP_N\subset\mathbb S^2$ 具有最优阶的 Riesz 能量亏损。特别地，当 $\alpha=1$ 时，Stolarsky 不变性原理意味着 $\cP_N\subset\mathbb S^2$ 的 $L^2$ 球冠偏差具有渐近最优阶 \\[ D_{L^2}^C(\mathcal P_N)\asymp N^{-3/4}, \\] 据我们所知，这使得它成为第一个被证明具有此性质的显式构型。更一般地，我们的结果意味着点集 $\cP_N$ 对于所有 $1<s<2$ 具有最优阶的 Sobolev $H^{s}(\Sph)$ 最坏情况误差。
英文摘要：
We introduce an explicit deterministic collection of $N$ spherical points, $\cP_N\subset\mathbb S^2$, that we call the {\em deterministic Diamond points}. For every $0<α<2$ we prove that there exists a constant $C_α>0$ such that \[ 0\leq \frac{2^{α+1}}{α+2}N^2-\sum_{x,y\in\cP_N}|x-y|^α\le C_αN^{1-α/2}. \] This result shows that $\cP_N\subset\mathbb S^2$ has a Riesz energy deficit of optimal order in this range of the parameter. In particular, for $α=1$, Stolarsky's invariance principle implies that $\cP_N\subset\mathbb S^2$ has $L^2$ spherical cap discrepancy of asymptotically optimal order \[ D_{L^2}^C(\mathcal P_N)\asymp N^{-3/4}, \] making it, to our knowledge, the first explicit configuration proved to have this property. More generally, our result implies that the point set $\cP_N$ has Sobolev $H^{s}(\Sph)$ worst-case error of optimal order for all $1<s<2$.
