AI 中文总结
本文研究扩张C*-代数的Cuntz半群维数，证明维数上界满足加法不等式，并继承比较与可除性性质，给出纯性等价的新证明。
AI 中文摘要
设 $0 \xrightarrow{}I \xrightarrow{ } A \xrightarrow{ }A/I \xrightarrow{} 0$ 是C*-代数的短正合列。本文证明，若 $\dim({\rm Cu}(I))\leq n$ 且 $\dim({\rm Cu}(A/I))\leq m$，则 $\dim({\rm Cu}(A))\leq n+m+1$，该结果对Thiel和Vilalta提出的关于C*-代数Cu-半群的一个问题给出了肯定回答。我们进一步证明，$I$ 和 $A/I$ 满足的某些比较性质和可除性性质会被扩张代数 $A$ 继承。作为应用，我们给出了 $A$ 是纯的当且仅当 $I$ 和 $A/I$ 是纯的这一等价性的另一种证明，该结果最初由Perera、Thiel和Vilalta证明。
英文摘要
Let $0 \xrightarrow{}I \xrightarrow{ } A \xrightarrow{ }A/I \xrightarrow{} 0$ be a short exact sequence of C*-algebras. In this paper, we prove that if $\dim({\rm Cu}(I))\leq n$ and $\dim({\rm Cu}(A/I))\leq m$, then $\dim({\rm Cu}(A))\leq n+m+1$, this result gives an affirmative answer to a problem concerning the Cu-semigroup of C*-algebras raised by Thiel and Vilalta. We further show that certain comparison and divisibility properties satisfied by $I$ and $A/I$ are inherited by the extension algebra $A$. As an application, we provide an alternative proof of equivalence that $A$ is pure if and only if $I$ and $A/I$, a result originally proven by Perera, Thiel, and Vilalta.
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