关于 $\mathbb{R}^n$ 中的中心极大函数

中文摘要 AI 辅助

我们研究 $\mathbb{R}^n$ 中所有 $n\geq1$ 的中心 Hardy--Littlewood 极大算子 $M_c$，特别关注其单射性问题。更确切地说，我们考虑是否存在两个非负函数 $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ 使得 $\\|f-g\\|_1>0$ 且 $M_cf=M_cg$。在此过程中，我们得到了 $M_c(\chi_U)$ 的一个初等显式公式，其中 $U$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的单位球。我们还推导了一个用不完全 beta 函数表示的显式公式，用于计算任意半径和中心的两个球交集的 $n$ 维体积。

英文摘要

We study the central Hardy--Littlewood maximal operator $M_c$ in $\mathbb{R}^n$ for all $n\geq1$, with particular emphasis on the question of its injectivity. More precisely, we consider whether there exist two nonnegative functions $f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$ such that $\|f-g\|_1>0$ and $M_cf=M_cg$. Along the way, we obtain an elementary explicit formula for $M_c(χ_U)$, where $U$ is the unit ball in $\mathbb{R}^3$. We also derive an explicit formula, in terms of the incomplete beta function, for the $n$-dimensional volume of the intersection of two balls with arbitrary radii and centers.

发表机构

• Odessa National Polytechnic University（敖德萨国立理工大学）

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