球谐函数、坐标乘法算子与无穷小共形变换
Spherical harmonics, operators of multiplication by coordinates, and infinitesimal conformal transformations
AI总结：
本文研究二维球面上函数空间分解为旋转不变子空间后，将坐标乘法算子和共形向量场微分算子转化为变量$n$和$u$上的微分差分算子，建立了显式对应关系。
AI中文摘要：
考虑二维球面 $S^2$ 上 $C^\infty$ 函数空间及其分解 $\oplus\mathcal H_n$（分解为最小旋转不变空间的直和）。我们将 $\oplus\mathcal H_n$ 的元素视为两个变量的函数：一个非负整数变量 $n$ 和一个复变量 $u$（此类函数限制在集合 $n=k$ 上时是 $u$ 的次数不超过 $2k$ 的多项式）。对于 $C^\infty(S^2)$ 中乘以 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 的算子，我们在 $\oplus\mathcal H_n$ 中得到相应的算子，它们是变量 $u$、$n$ 上的微分差分算子（包括对 $u$ 的二阶导数以及 $n\mapsto n\pm1$ 的平移）。对于 $S^2$ 上共形向量场的微分算子，我们得到类似的对应关系。
英文摘要：
Consider the space of $C^\infty$-functions on the two-dimensional sphere $S^2$ and its decomposition $\oplus\mathcal H_n$ into a direct sum of minimal rotation-invariant spaces. We consider elements of $\oplus\mathcal H_n$ as functions of two variables, a nonnegative integer variable $n$ and a complex variable $u$ (a restriction of such function to the set $n=k$ is a polynomial in $u$ of degree $\le 2k$). For operators of multiplication by $x_1$, $x_2$, $x_3$ in $C^\infty(S^2)$ we obtain the corresponding operators in $\oplus\mathcal H_n$, they are differential-difference operators in the variables $u$, $n$ (including second derivatives in $u$ and shifts $n\mapsto n\pm1$). We obtain the similar correspondence for operators of differentiation along conformal vector fields on $S^2$.
