发表机构
Japan（日本）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文确定了多部图色数极值阈值 $\delta(n,r,t)$ 在 $r=mt-a$ 范围内的精确值（与已知上界至多差1），并给出修正准则，结合 AES 定理锐化等式范围，最终为所有允许的 $r\ge4$ 解决多部 $K_4$-自由问题。
AI 中文摘要
对于正整数 $n,r,t$，设 $\delta(n,r,t)$ 表示具有大小为 $n$ 的部且色数至多为 $t$ 的平衡 $r$-部图的最小度的最大可能值。Lo、Treglown 和 Zhao 建立了该参数的一般上界，并利用它连同显式构造，在广泛的参数范围内确定了相应的多部团阈值（精确到加法常数）。我确定了在范围 $r=mt-a$, $m\ge2$, $t\ge3$, $2\le a\le \min\{m,t-1\}$ 内的色数参数。答案与 Lo--Treglown--Zhao 上界至多相差 1。我给出了一个显式的算术准则，用于判定何时发生这一单位修正。证明将该问题归结为整数矩阵极值。在边界情形下，等式迫使所有混合行的支撑集形成一个生成星，之后仅剩的障碍是一个整除性条件。将该公式与 Andrasfai--Erdos--Sos 定理结合，锐化了 $f(n,r,t+1)=δ(n,r,t)$ 的已知等式范围。特别地，对于 $t=3$，它去除了 $r=10$ 和 $r=13$ 处剩余的尺寸限制。连同 arXiv:2609.19177 中的 $r=7$ 结果、经典的 $r=4$ 情形以及已知的同余类，这给出了对于每个允许的 $r\ge4$ 和每个 $n\ge1$ 的多部 $K_4$-自由问题的公式。
英文摘要
For positive integers $n,r,t$, let $δ(n,r,t)$ denote the maximum possible minimum degree of a balanced $r$-partite graph with parts of size $n$ and chromatic number at most $t$. Lo, Treglown and Zhao established a general upper bound for this parameter and used it, together with explicit constructions, to determine the corresponding multipartite clique threshold up to an additive constant in a broad parameter range. I determine the chromatic parameter throughout the range $r=mt-a$, $m\ge2$, $t\ge3$, $2\le a\le \min\{m,t-1\}$. The answer differs from the Lo--Treglown--Zhao upper bound by at most one. I give an explicit arithmetic criterion deciding when this one-unit correction occurs. The proof reduces the problem to an integer matrix extremum. In the boundary case, equality forces the supports of all mixed rows to form a spanning star, after which the only remaining obstruction is a divisibility condition. Combining this formula with the Andrasfai--Erdos--Sos theorem sharpens the known equality range for $f(n,r,t+1)=δ(n,r,t)$. In particular, for $t=3$ it removes the remaining size restrictions at $r=10$ and $r=13$. Together with the $r=7$ result in arXiv:2609.19177, the classical $r=4$ case, and the known congruence classes, this gives a formula for the multipartite $K_4$-free problem for every admissible $r\ge4$ and every $n\ge1$.
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