算子代数的部分分解与自反性
Partial factorization and reflexivity of operator algebras
- School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
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AI总结：
本文证明弱算子拓扑闭且具有左或右部分分解性质的算子代数是巢代数，传递时等于全算子代数，肯定回答了Bhat和Kumar的问题。
AI中文摘要：
设 $\mathcal{H}$ 为可分无限维Hilbert空间，$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 为 $\mathcal{H}$ 上所有有界线性算子构成的代数。$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 中的子代数 $\mathfrak{A}$ 具有左（分别地，右）部分分解性质，如果对任意可逆算子 $S\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$，存在等距（分别地，余等距）算子 $U\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 使得 $U^*S, S^{-1}U\in\mathfrak{A}$。我们证明：若 $\mathfrak{A}$ 在弱算子拓扑下闭且具有左（分别地，右）部分分解性质，则 $\mathfrak{A}$ 是与其不变子空间格相关联的巢代数。特别地，若 $\mathfrak{A}$ 是可传递的，则 $\mathfrak{A}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$。这肯定地回答了 B.V.R. Bhat 和 M. Kumar 在 \emph{Publ. Res. Inst. Math. Sci.} \textbf{60}(2024), 507--537 中提出的问题6.3。
英文摘要：
Let $\mathcal{H}$ be a separable infinite dimensional Hilbert space and $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ the algebra of all bounded linear operators on $\mathcal{H}$. A subalgebra $\mathfrak{A}$ in $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ has the left (resp.\ right) partial factorization property if for any invertible operator $S\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, there exists an isometry (resp.\ a co-isometry) $U\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ such that $U^*S, S^{-1}U\in\mathfrak{A}$. We show that if $\mathfrak{A}$ is weak operator topology closed with the left (resp.\ right) partial factorization property, then $\mathfrak{A}$ is the nest algebra associated with its invariant subspace lattice. In particular, if $\mathfrak{A}$ is transitive, then $\mathfrak{A}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$. This gives a positive answer to Question 6.3 raised by B.V.R. Bhat and M. Kumar in \emph{Publ. Res. Inst. Math. Sci.} \textbf{60}(2024), 507--537.
