发表机构
School of Mathematical and Statistical Sciences, IIT Mandi（印度技术学院曼迪分校数学与统计科学学院）
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本文研究 $3\times n$ 网格图的匹配复形，证明其约化同调在低维和最高维消失，而在 $n-1$ 维非零，且当 $n\ge3$ 时单连通，从而确定其拓扑连通度为 $n-2$。
AI 中文摘要
对于有限简单图 $G$，匹配复形 $M(G)$ 是以 $G$ 的边集为顶点集、以 $G$ 中的所有匹配为单形的单纯复形。$m\times n$ 网格图 $G_{m\times n}$ 的匹配复形的拓扑仅在 $m=1,2$ 时已知，在这两种情况下它同伦等价于球面的楔积。本文研究匹配复形 $M(G_{3 \times n})$。我们证明对于 $n\ge2$，其约化同调在维数 $i \leq n-2$ 和最高维上消失，而 $\tilde{H}_{n-1}(M(G_{3\times n}))\neq 0$。我们还证明 $M(G_{3 \times n})$ 在 $n \geq 3$ 时是单连通的。因此，$M(G_{3\times n})$ 的拓扑连通度为 $n-2$。
英文摘要
For a finite simple graph $G$, the matching complex $M(G)$ is the simplicial complex whose vertex set is the edge set of $G$ and whose simplices are all the matchings in $G$. The topology of the matching complex of the $m\times n$ grid graph $G_{m\times n}$ is known only for $m = 1,2$, in which cases it is homotopy equivalent to a wedge of spheres. In this article, we study the matching complex $M(G_{3 \times n})$. We prove that for $n\ge2$, its reduced homology vanishes in dimensions $i \leq n-2$ and in top dimension, while $\tilde{H}_{n-1}(M(G_{3\times n}))\neq 0$. We also show that $M(G_{3 \times n})$ is simply connected for $n \geq 3$. Consequently, the topological connectivity of $M(G_{3\times n})$ is $n-2$.
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