发表机构
School of Mathematics (Zhuhai), Sun Yat-sen University; School of Mathematics and System Science, Guangdong Polytechnic Normal University（中山大学数学学院（珠海）; 广东技术师范大学数学与系统科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明 van der Pol 方程极限环振幅严格大于 2，并通过轨道比较等方法将判据推广至对称 Liénard 系统。
AI 中文摘要
我们证明 van der Pol 方程 $\ddot{x}+μ(x^2-1)\dot{x}+x=0$ 的唯一极限环的振幅对于每个 $μ>0$ 都严格大于 $2$。证明结合了松弛振荡区域中的轨道比较、弱非线性区域中的三角比较曲线以及中间区域中的多项式能量估计。后两个区域中出现的多项式符号条件使用精确有理算术和 Bernstein 系数进行验证。轨道比较方法也适用于一类对称 Liénard 系统。在适当的单调性假设下，我们建立了极限环振幅超过由阻尼函数确定的临界值的充分判据。
英文摘要
We prove that the amplitude of the unique limit cycle of the van der Pol equation $\ddot{x}+μ(x^2-1)\dot{x}+x=0$ is strictly greater than $2$ for every $μ>0$. The proof combines orbit comparison in the relaxation oscillation regime, trigonometric comparison curves in the weakly nonlinear regime, and polynomial energy estimates in the intermediate regime. The polynomial sign conditions arising in the latter two regimes are certified using exact rational arithmetic and Bernstein coefficients. The orbit comparison method also applies to a class of symmetric Liénard systems. Under suitable monotonicity assumptions, we establish a sufficient criterion for the limit cycle amplitude to exceed a critical value determined by the damping function.
