通过单位的挠子群的可定义性与不可判定性
Definability and undecidability via the torsion subgroup of units
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- Center for Communications Research（通信研究中心）
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中文总结 AI 辅助
本文证明整数环在最大阿贝尔扩张的整数环中一阶可定义，从而其理论不可判定，并推广到全实数域加虚数单位的子域，关键是无参数正存在公式定义单位根。
中文摘要 AI 辅助
本文证明整数环$\mathbb{Z}$在$\mathbb{Q}$的最大阿贝尔扩张$\mathbb{Q}^{\text{ab}}$的整数环$\mathbb{Z}^{\text{ab}}$中是一阶可定义的，这意味着$\mathbb{Z}^{\text{ab}}$的一阶理论是不可判定的。更一般地，设$i = \sqrt{-1}$，并以$\mathbb{Q}^{\text{tr}}$表示所有全实数的域，我们证明了$\mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$的子域的整数环的新的可定义性与不可判定性结果，特别关注包含无穷多个单位根的域。这些结果的关键要素是存在一个无参数的正存在公式，该公式对每个域$L\subseteq \mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$在$\mathcal{O}_L$内部定义了单位根$\mu(\mathcal{O}_L)$。
英文摘要
In this paper, we prove that $\mathbb{Z}$ is first-order definable in the ring of integers $\mathbb{Z}^{\text{ab}}$ of the maximal abelian extension $\mathbb{Q}^{\text{ab}}$ of $\mathbb{Q}$, which implies that the first-order theory of $\mathbb{Z}^{\text{ab}}$ is undecidable. More generally, writing $i = \sqrt{-1}$ and $\mathbb{Q}^{\text{tr}}$ for the field of all totally real numbers, we prove new definability and undecidability results for rings of integers of subfields of $\mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$, focusing especially on fields which contain infinitely many roots of unity. The key ingredient for these results is that there is a parameter-free positive-existential formula which defines the roots of unity $μ(\mathcal{O}_L)$ inside $\mathcal{O}_L$ for every field $L\subseteq \mathbb{Q}^{\text{tr}}(i)$.
