发表机构
New York University; Baylor University（纽约大学; 贝勒大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文回顾交换公式在等谱性、可积系统、PDE正则化及统计力学与量子场论中的应用，并综述其五十年来的衍生成果，涵盖行列式、随机矩阵、可积算子、KPZ、Pfaffian、散射理论及Miura变换等。
AI 中文摘要
Deift 论文 [24] 所依据的主要交换公式具有如下形式：\\[ - z (AB - z I)^{-1} + A (BA - z I)^{-1} B = I, \quad z \in [\rho(AB) \cap \rho(BA)]\setminus\{0\}, \\] 其中，暂时且仅为简化起见，$A,B$ 表示 Banach 空间中的有界算子。该交换公式的一个基本推论是，$AB$ 和 $BA$ 在如下意义上是本质等谱的：\\[ \sigma(AB) \setminus \{0\} = \sigma(BA) \setminus \{0\}. \\] 此外，在适当的迹类假设下，这蕴含了（Fredholm）行列式的基本恒等式 \\[ \det(I - AB) = \det(I - BA), \\] 该恒等式可推广至修正（或正则化）的 Fredholm 行列式。\n\n在本文中，我们简要回顾这些交换公式在等谱性、可积系统、偏微分方程的正则化以及统计力学和量子场论中的估计等方面的一些应用，这些应用在 [24] 中已有讨论。随后，我们综述了过去五十年间建立的交换公式的一些衍生结果，包括行列式与降维、随机矩阵理论与升维、可积算子、Poncelet 闭合定理、插值、特征值计算、KPZ、Pfaffian、聚焦 Gross-Pitaevskii 方程、一维散射理论、Floquet 理论，以及连接 KdV 和 mKdV 层次的 Miura 变换。
英文摘要
The principal {\it commutation formula} underlying the paper by Deift [24], is of the type \[ - z (AB - z I)^{-1} + A (BA - z I)^{-1} B = I, \quad z \in [ρ(AB) \cap ρ(BA)]\backslash\{0\}, \] where, temporarily, and for simplicity only, $A,B$ represent bounded operators in a Banach space. A fundamental consequence of this commutation formula is the fact that $AB$ and $BA$ are {\it essentially isospecral} in the sense that \[ σ(AB) \backslash \{0\} = σ(BA) \backslash \{0\}. \] Moreover, under appropriate trace class hypotheses, this implies the fundamental identity for (Fredholm) determinants \[ \det(I - AB) = \det(I - BA), \] which extends to modified (or regularized) Fredholm determinants. In this paper we briefly recall some of the applications of these commutation formulas to isospectrality, integrable systems, regularization of PDEs, and estimates in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory discussed in [24]. Subsequently, we review some of the ramifications of commutation formulas that were established over the past fifty years, including determinants and dimension reduction, random matrix theory and dimension expansion, integrable operators, Poncelet's porism, interpolation, eigenvalue computation, KPZ, Pfaffians, the focusing Gross-Pitaevskii equation, one-dimensional scattering theory, Floquet theory, and the Miura transformation connecting the KdV and mKdV hierarchies.
Comments56 pages, 2 figures
