$A_2$-框架、负循环胶合与极强 $6$-模格
$A_2$-frames, negacyclic glue, and extremal strongly $6$-modular lattices
- University of California San Diego（加州大学圣迭戈分校）
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AI总结：
本文用分歧高斯链环替换惰性艾森斯坦约化，构造了秩 $4\ell$ 的强 $6$-模格 $L_\ell$，其中 $L_5$、$L_7$ 达到最小范数 $6$、$8$，填补了 Nebe--Sloane 目录中的空缺，且 $L_3$ 与 Coxeter--Todd 格等距。
AI中文摘要：
经典的 Coxeter--Todd 格的 $A_2$-框架构造使用六元码作为其胶合。这里我们将惰性 Eisenstein 约化在 $2$ 处替换为分歧 Gaussian 链环 $S=\mathbb{Z}[i]/(1+i)^3$。对于奇数 $\ell$，$S$ 上的一生成元循环图码从 $A_2(4)^{2\ell}$-框架提升为秩 $4\ell$ 的偶强 $6$-模格 $L_\ell$。在实框架排序中，同一胶合是一生成元负循环码。$L_5$ 和 $L_7$ 的情形具有最小值 $6$ 和 $8$，并给出 Nebe--Sloane 目录中列为开放的维度 $20$ 和 $28$ 中类型-$6\mathrm{a}$ 条目的例子。在完成平方后，最小值计算变为四符号进位问题；对于 $L_7$，关键关系是 $7$-循环的边界映射。对于 $\ell=3$，$L_3$ 有一个指数-$8$ 的超格，等距于 Coxeter--Todd 格。
英文摘要：
The classical $A_2$-frame construction of the Coxeter--Todd lattice uses the hexacode as its glue. Here we replace the inert Eisenstein reduction at $2$ by the ramified Gaussian chain ring $S=\mathbb{Z}[i]/(1+i)^3$. For odd $\ell$, a one-generator cyclic graph code over $S$ lifts from an $A_2(4)^{2\ell}$-frame to an even strongly $6$-modular lattice $L_\ell$ of rank $4\ell$. In the real frame ordering the same glue is a one-generator negacyclic code. The cases $L_5$ and $L_7$ have minima $6$ and $8$ and give examples for the type-$6\mathrm{a}$ entries in dimensions $20$ and $28$, which are listed as open in the Nebe--Sloane catalogue. After completing the square, the minimum calculation becomes a four-symbol carry problem; for $L_7$ the key relation is the boundary map of a $7$-cycle. For $\ell=3$, $L_3$ has an index-$8$ overlattice isometric to the Coxeter--Todd lattice.
