AI 中文总结
本文研究从类似标量 $(n,0)$-形式的丛值形式恢复 $\mathbb{Z}_2$-（几乎）复结构，在 $4$-流形和四元数-Kähler 流形上可全局恢复，并应用于 Vafa-Witten 方程，表明无相容 $\mathbb{Z}_2$-复结构时解必平凡。
AI 中文摘要
给定一个偶数维光滑流形和一个（余）闭的、取值于某个向量丛的 $n$-形式 $a$，它“类似”于一个标量 $(n,0)$-形式，我们可能（也可能不）在某些假设下恢复一个“$\mathbb{Z}_2$-（几乎）复结构”。在 $4$-流形或四元数-Kähler 流形的情形下，我们可以在整个流形（包括 $a$ 的零点集）上恢复一个相容的 $\mathbb{Z}_2$-复结构。一般而言，在 $a$ 满足某个非退化条件之处，我们可以恢复一个 $\mathbb{Z}_2$-（几乎）复结构，但未必在整个流形上，并且我们找到了一个反例。上述“类似”于标量 $(2,0)$-形式的条件，被紧 Kähler 曲面上的任何 $\mathrm{U}(1)$-不变 Vafa-Witten 方程解所满足。这暗示了将 $\mathrm{U}(1)$-不变解的概念推广到定向 Riemann $4$-流形的可能性。然而，我们上述结果意味着，任何满足该条件的解（因而看似任何潜在的“广义 $\mathrm{U}(1)$-不变解”）在该 $4$-流形不承认相容的 $\mathbb{Z}_2$-复结构时，必须是平凡的。
英文摘要
Given an even-dimensional smooth manifold and a (co)(closed) bundle-valued $n$-form $a$ that "resembles" a scalar $(n,0)$-form, we may (or may not) recover a "$\mathbb{Z}_2$-(almost) complex structure" under certain assumptions. In the case of a $4$-manifold or a quaternion-Kähler manifold, we can recover a compatible $\mathbb{Z}_2$-complex structure on the whole manifold including the zero locus of $a$. In general, we can recover a $\mathbb{Z}_2$-(almost) complex structure wherever $a$ satisfies a certain nondegeneracy condition, but not necessarily on the whole manifold, with a counterexample identified. The above condition of "resembling" a scalar $(2,0)$-form is satisfied by any $\mathrm{U}(1)$-invariant solution to the Vafa-Witten equation on a compact Kähler surface. This hints at a possibility to generalise the notion of $\mathrm{U}(1)$-invariant solutions to oriented Riemannian $4$-manifolds. However, our results above imply any solution satisfying the condition, and thus seemingly any potential "generalised $\mathrm{U}(1)$-invariant solution", must be trivial if the $4$-manifold admits no compatible $\mathbb{Z}_2$-complex structure.
Comments40 pages; to be contained in my doctoral thesis
