AI 中文总结
本文证明面积保持扭转映射在垂直旋转集为单点无理数时存在不变Lipschitz叶状结构，并在叶动力学与无理旋转双Lipschitz共轭时映射为极小。
AI 中文摘要
本文考虑面积保持扭转映射 $f:\mathbf{T}^2\to\mathbf{T}^2$，其垂直旋转集退化为单个无理数 $\alpha$。我们的第一个结果表明，在这些假设下，存在一个 $f$-不变的叶状结构 $\mathcal{F}_G=\{\operatorname{Graph}(\phi_t)\}_{t\in\mathbf{T}^1}$，其中每个函数 $\phi_t:\mathbf{T}^1\to\mathbf{T}^1$ 对某个常数 $K=K(f)$ 是 $K$-Lipschitz 的。此外，我们还证明，若 $\mathcal{F}_G$ 是 Lipschitz 叶状结构，且叶动力学（始终是旋转数为 $\alpha$ 的传递圆同胚）与无理旋转 $R_\alpha$ 是双 Lipschitz 共轭的，则 $f$ 是极小的。
英文摘要
In this paper we consider area-preserving twist maps $f:\mathbf{T}^2\to\mathbf{T}^2$ with vertical rotation sets reduced to a single irrational number $α$. Our first result states that under these hypotheses, there exists a unique $f$-invariant foliation $\mathcal{F}_G=\{\operatorname{Graph}(ϕ_t)\}_{t\in\mathbf{T}^1}$, where each function $ϕ_t:\mathbf{T}^1\to\mathbf{T}^1$ is $K$-Lipschitz for some constant $K=K(f)$. Moreover, we also prove that in case $\mathcal{F}_G$ is a Lipschitz foliation, then $f$ is minimal.
