AI 中文总结
本文研究条件空间 $L^2(T)$ 上 $T$-强有界算子的伴随与序结构，定义并比较里斯-坎托罗维奇序模和谱模，证明 $T$-正则算子构成戴德金完备序理想，伴随为序自同构。
AI 中文摘要
我们研究了条件空间 $L^2(T)$ 上 $R(T)$-线性、$T$-强有界算子的伴随，以及其希尔伯特型几何与里斯空间序之间的相互作用。这产生了两个自然的算子模：里斯-坎托罗维奇序模和谱模 $(S^*S)^{1/2}$。在分离出 $T$-正则算子后，我们证明它们在序有界 $R(T)$-模同态的自然格中构成一个戴德金完备的序理想。在这个算子格上，序运算保持 $T$-强有界性，且伴随是一个序自同构。然后我们比较这两个模，并解释它们为何可能不同。
英文摘要
We study adjoints of $R(T)$-linear, $T$-strongly bounded operators on the conditional space $L^2(T)$ and the interaction between its Hilbert-type geometry and its Riesz-space order. This produces two natural operator moduli: the Riesz--Kantorovich order modulus and the spectral modulus $(S^*S)^{1/2}$. After isolating the $T$-regular operators, we show that they form a Dedekind-complete order ideal in the natural lattice of order-bounded $R(T)$-module homomorphisms. On this operator lattice the order operations remain $T$-strongly bounded and the adjoint is an order automorphism. We then compare the two moduli and explain why they may differ.
