ZFC 中一个可分离表示的反例：Naimark 问题
A separably representable counterexample to Naimark's problem in ZFC
- Institute of Arts and Sciences, Tokyo University of Science（东京科学大学文理研究院）
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AI总结：
本文在 ZFC 中构造了一个单的、简单的、无限维 C*-代数，其所有非零不可约表示酉等价，但存在可分忠实表示，从而给出 Naimark 问题在 ZFC 中的反例，并揭示其与连续统假设的等价性。
AI中文摘要：
我们在 ZFC 中构造一个单的、简单的、无限维的 $C^*$-代数，其非零不可约表示构成单一酉等价类，但该代数在可分希尔伯特空间上有忠实表示。该代数包含正则反交换关系（CAR）代数的单位副本，且归一化 CAR 迹在所有态中具有唯一延拓。此延拓是迹态，其 GNS 表示是可分的且忠实的，弱闭包为超有限 $\mathrm{II}_1$ 因子。相反，每个非零不可约表示作用在密度为 $2^{\aleph_0}$ 的希尔伯特空间上。该构造将添加的单位元分离为壳项（由有限 CAR 关系控制）和秩一缺陷项。这些关系决定了生成代数的每个不可约表示以及 CAR 迹的每个延拓。该代数的范数密度为 $2^{\aleph_0}$；因此，连续统假设（CH）在 ZFC 上等价于存在范数密度为 $\aleph_1$ 的 Naimark 问题的反例。
英文摘要：
We construct in ZFC a unital, simple, infinite-dimensional $C^*$-algebra whose nonzero irreducible representations form a single unitary equivalence class, but which admits a faithful representation on a separable Hilbert space. The algebra contains a unital copy of the canonical anticommutation relation (CAR) algebra, and the normalized CAR trace has a unique extension among all states. This extension is tracial, and its GNS representation is separable and faithful, with weak closure the hyperfinite $\mathrm{II}_1$ factor. In contrast, every nonzero irreducible representation acts on a Hilbert space of density $2^{\aleph_0}$. The construction separates the added unitaries into shell terms, controlled by finite CAR relations, and rank-one defect terms. These relations determine every irreducible representation of the generated algebra and every extension of the CAR trace. The algebra has norm density $2^{\aleph_0}$; consequently, the continuum hypothesis (CH) is equivalent over ZFC to the existence of a counterexample to Naimark's problem of norm density $\aleph_1$.
