发表机构
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学数学研究所）
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本文证明所有复维数至少为四的 Bogomolov--Guan 流形在有理数域上非形式，通过构造一致的八次 a-Massey 积并利用 Saito 分解定理，还确定了其第三 Betti 数为 3。
AI 中文摘要
Bogomolov--Guan 流形构成了已知的唯一一系列紧致单连通非 Kähler 全纯辛流形。我们证明所有复维数至少为四的 Bogomolov--Guan 流形在 $\mathbb{Q}$ 上都是非形式的。证明在 Bogomolov--Guan 前体的对称商的有限维不变 de Rham 模型中构造了一个一致的八次 $a$-Massey 积。其不确定性消失，其非平凡性通过由 $S_{n+1}$-不变张量收缩产生的显式最高次配对来检测。然后，一个非零度映射将非形式性传递到光滑的 Bogomolov--Guan 流形。我们还将 Bogomolov--Guan 前体与 Guan 原始构造中出现的幂零流形进行比较，表明它们通过度为 $(n+1)^2$ 的自然 $S_{n+1}$-等变有限覆盖相关联，并且具有相同的不变 de Rham 模型。利用 Guan 的分解（我们证明它是射影且半小的），结合 Saito 的分解定理，我们进一步证明每个复维数至少为四的 Bogomolov--Guan 流形的第三 Betti 数等于 $3$。
英文摘要
Bogomolov--Guan manifolds form the only known series of compact simply connected non-Kähler holomorphic symplectic manifolds. We prove that all Bogomolov--Guan manifolds of complex dimension at least four are nonformal over $\mathbb{Q}$. The proof constructs a uniform degree-eight $a$-Massey product in a finite-dimensional invariant de Rham model of the symmetric quotient of the Bogomolov--Guan precursor. Its indeterminacy vanishes, and its nontriviality is detected by an explicit top-degree pairing arising from an $S_{n+1}$-invariant tensor contraction. A nonzero-degree map then transfers nonformality to the smooth Bogomolov--Guan manifold. We also compare the Bogomolov--Guan precursor with the nilmanifold appearing in Guan's original construction, showing that they are related by a natural $S_{n+1}$-equivariant finite cover of degree $(n+1)^2$ and have the same invariant de Rham model. Using Guan's resolution, which we prove to be projective and semismall, together with Saito's decomposition theorem, we further show that the third Betti number of every Bogomolov--Guan manifold of complex dimension at least four is equal to $3$.
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