发表机构
Johns Hopkins University; Rutgers University（约翰斯·霍普金斯大学; 罗格斯大学）
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本文证明以$\mathbb{S}^3$中大圆为边界的Möbius带中，最小Willmore能量由Morse指标2的嵌入极小带实现，并引入2参数典范族将Kusner猜想归结为Lawson带的刻画。
AI 中文摘要
我们证明，在以大圆为边界的$\mathbb{S}^3$中的Möbius带中，最小Willmore能量由具有Morse指标2的嵌入极小Möbius带实现。为证明这一点，我们引入了一个与$\mathbb{S}^3$中以大圆为边界的任何不可定向曲面相关的2参数“典范族”，并应用极小极大论证。该典范族检测曲面的Euler数，其灵感来自F.C. Marques和A. Neves发现的用于检测$\mathbb{S}^3$中可定向曲面亏格的5参数族。对于$\mathbb{Z}_2$-不变的Klein瓶，这将R. Kusner 1989年的猜想（即$\tau_{1,2}$最小化浸入$\mathbb{S}^3$中的Klein瓶的Willmore能量）归结为Lawson Möbius带的若干猜想性刻画中的任何一个。
英文摘要
We show that among Möbius bands in $\mathbb{S}^3$ bounded by a great circle, the minimal Willmore energy is realized by an embedded minimal Möbius band with Morse index two. To prove this, we introduce a $2$-parameter ``canonical family" associated to any non-orientable surface in $\mathbb{S}^3$ with boundary a great circle and apply a min-max argument. The canonical family detects the Euler number of the surface and is inspired by the $5$-parameter family discovered by F.C. Marques and A. Neves detecting the genus of an orientable surface in $\mathbb{S}^3$. For $\mathbb{Z}_2$-invariant Klein bottles, this reduces R. Kusner's 1989 conjecture that $τ_{1,2}$ minimizes the Willmore energy for a Klein bottle immersed in $\mathbb{S}^3$ to any of several conjectural characterizations of the Lawson Möbius band.
Comments40 pages
