AI 中文总结
本文构造了任意维数 $n\ge3$ 的光滑射影簇，其 uniruled 但所有 Kähler 度量总数量曲率为负，从而证明该等价性在更高维数失效。
AI 中文摘要
对于每个整数 $n\ge3$，我们构造了一个复维数为 $n$ 的光滑射影簇 $X$，其典范丛不是伪有效的，等价地，它是 uniruled 的，但每个 Kähler 度量都具有负的总数量曲率。特别地，$X$ 不承认具有正数量曲率的 Kähler 度量，而它承认具有正数量曲率的黎曼度量。因此，在复维数一和二时，uniruledness 与存在具有正数量曲率的 Kähler 度量之间的等价性成立，但在更高维数时失败。
英文摘要
For every integer $n\ge3$, we construct a smooth projective manifold $X$ of complex dimension $n$ whose canonical bundle is not pseudoeffective, or equivalently, which is uniruled, but every Kähler metric has negative total scalar curvature. In particular, $X$ admits no Kähler metric of positive scalar curvature, while it admits a Riemannian metric of positive scalar curvature. Thus the equivalence between uniruledness and the existence of a Kähler metric with positive scalar curvature holds in complex dimensions one and two, but fails in higher dimensions.
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