发表机构
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
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本文用上符号变分方法，统一证明二维和三维环面上巨正则玻色气体在高温极限下相对自由能与约化密度矩阵的收敛性，改进现有 $\Phi^4_d$ 推导结果。
AI 中文摘要
我们研究了在二维和三维环面上，从巨正则玻色气体在高温极限下推导 $\Phi^4_d$ 测度的问题。基于作者先前工作中的上符号变分方法，我们利用相对熵给出了一个简单且统一的证明，证明了相对自由能的收敛性以及所有固定阶重标度约化密度矩阵到其 Hartree 对应物的 Hilbert--Schmidt 收敛性。对于相互作用范围 $\varepsilon=\lambda^\eta$（其中 $\lambda$ 是逆温度），这些结果在二维中对每个固定的 $0<\eta<1/2$ 成立，在三维中对每个固定的 $0<\eta<1/26$ 成立。在二维情形中，我们改进了 Jougla 和 Rougerie (2026) 的结果以及 Fröhlich, Knowles, Schlein 和 Sohinger (2025) 的局部 $\Phi^4_2$ 推导。结合经典近似，二维结果给出了第一个对每个固定指数 $0<\eta<1/2$ 都有效的局部 $\Phi^4_2$ 推导，允许多项式指数从下方任意接近稀释度阈值。在三维情形中，我们将 Nam, R.~Zhu 和 X.~Zhu [定理~2.8](2025) 建立的有限阶弱收敛加强为每个固定阶的 Hilbert--Schmidt 收敛。
英文摘要
We study the high-temperature derivation of $Φ^4_d$ measures from grand-canonical Bose gases on two- and three-dimensional tori. Building on the upper-symbol variational approach of the author's earlier work, we use relative entropy to give a simple, unified proof of relative free-energy convergence and Hilbert--Schmidt convergence of all fixed-order rescaled reduced density matrices to their Hartree counterparts. For interaction ranges $\varepsilon=λ^η$, where $λ$ is the inverse temperature, these results hold for every fixed $0<η<1/2$ in two dimensions and $0<η<1/26$ in three. In two dimensions, we improve the result of Jougla and Rougerie (2026) and the local $Φ^4_2$ derivation of Fröhlich, Knowles, Schlein and Sohinger (2025). Combined with classical approximation, the two-dimensional result gives the first local $Φ^4_2$ derivation valid for every fixed exponent $0<η<1/2$, allowing polynomial exponents arbitrarily close to the diluteness threshold from below. In three dimensions, we use the identification of the local measure and the stationary SPDE estimates of Nam, R.~Zhu and X.~Zhu (2025). From these estimates we strengthen their classical correlation convergence to the Hilbert--Schmidt norm. This yields the local limit at every fixed order in the same polynomial range.
Comments38 pages
