AI 中文总结
本文研究置换群中二元直径与长度问题的计算复杂性，证明直径问题为PSPACE完全，在2-步幂零群中分别为Π₂^P完全和NP完全。
AI 中文摘要
二元直径问题的输入包括显式表示的生成有限群 $G$ 的置换以及一个二进制编码的非负整数 $k$。该问题询问 $G$ 的每个元素是否都可以表示为至多 $k$ 个输入生成元的乘积。对于二元长度问题，输入中额外包含一个置换 $g \in G$，并询问 $g$ 是否可以表示为至多 $k$ 个输入生成元的乘积。我们证明了二元直径问题是 PSPACE 完全的。当限制在 $2$-步幂零群时，二元直径问题被证明是 $\mathsf{\Pi_2^P}$ 完全的，而二元长度问题被证明是 NP 完全的。在没有 $2$-步幂零群限制的情况下，根据 Jerrum 的结果，二元长度问题是 PSPACE 完全的。
英文摘要
The input for the binary diameter problem consists of explicitly represented permutations generating a finite group $G$ and a binary-encoded nonnegative integer $k$. The question is whether every element of $G$ is a product of at most $k$ input generators. For the binary length problem, the input contains in addition a permutation $g \in G$ and it is asked whether $g$ is a product of at most $k$ input generators. We prove that the binary diameter problem is PSPACE-complete. When restricted to $2$-step nilpotent groups, the binary diameter problem is shown to be complete for $\mathsf{Π_2^P}$, whereas the binary length problem is shown to be NP-complete. Without the restriction to $2$-step nilpotent groups, the binary length problem is PSPACE-complete by a result of Jerrum.
