发表机构
University of Macau; The Chinese University of Hong Kong（澳门大学; 香港中文大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在球面上，对于偶数维数或三维、五维、七维，满足一定条件的轴对称Q-曲率型方程解必为常数，通过Gegenbauer展开和精细半范数估计实现。
AI 中文摘要
我们证明：对于每个偶数整数 $N\geq 4$ 或 $N\in\{3,5,7\}$，$Q$-曲率型问题 $$ \alpha P_N u + (N-1)!(1-\frac{e^{Nu}}{\int_{\mathbb{S}^N} e^{Nu}dw})=0 \\ \\ \\ \\ \\ \mbox{在} \\ \mathbb{S}^N \text{上} $$ 的每个轴对称解都是常数，前提是 $\alpha\ge\frac{1}{2}$ 且 $\alpha \not =1$。证明从 Gegenbauer 展开及其系数上的加权 $\ell ^2$ 估计开始。然后一个关键估计是利用针对一般偶数整数 $N\geq 4$ 专门设计的分部积分恒等式对半范数 $\lfloor G\rfloor^2$ 的精细估计。对于 $N\in\{3,5,7\}$，半范数估计通过降维到三维非局部差商恒等式来建立。
英文摘要
We prove that for every even integer $N\geq 4$ or $N\in\{3,5,7\}$, every axially symmetric solution to the $Q$-curvature-type problem $$ αP_N u + (N-1)!(1-\frac{e^{Nu}}{\int_{\mathbb{S}^N} e^{Nu}dw})=0 \ \ \ \ \ \mbox{on} \ \mathbb{S}^N $$ is constant, provided that $ α\ge\frac{1}{2}$ and $α\not =1$. The proof starts from a Gegenbauer expansion and its weighted $\ell ^2$ estimate on coefficients. Then one key estimate is the refined estimate of the seminorm $\lfloor G\rfloor^2$ using a specially designed integration-by-parts identity for general even integer $N\geq 4$. For $N\in\{3,5,7\}$, the seminorm estimates are established via a descent to a three--dimensional nonlocal difference quotient identity.
