高阶Dirichlet特征值比猜想的一个反例
Counterexamples to a higher-index Dirichlet eigenvalue-ratio conjecture
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本文构造具有光滑边界的有界平面域，否证了Payne--Pólya--Weinberger不等式的高阶特征值比猜想，并给出m=3时的具体环域反例。
中文摘要 AI 辅助
设$\lambda_k(\Omega)$表示有界平面域$\Omega$的第$k$个Dirichlet-Laplace特征值，特征值按重数计数。我们否证了Ashbaugh记录为开放问题的Payne--Pólya--Weinberger不等式的一个猜想的高阶推广。对每个整数$m\geq3$，我们构造一个有$C^\infty$边界的有界平面域$\Omega_m$，使得$$ \frac{\lambda_{2m}(\Omega_m)}{\lambda_m(\Omega_m)} >\frac{13}{5} >\frac{j_{1,1}^2}{j_{0,1}^2}, $$其中$j_{\nu,1}$是$J_\nu$（第一类$\nu$阶Bessel函数）的第一个正零点。对于$m=3$，环域$\{x\in\mathbb{R}^2:1/10<|x|<1\}$已经提供了这样的反例。
英文摘要
Let $λ_k(Ω)$ denote the $k$th Dirichlet Laplacian eigenvalue of a bounded planar domain $Ω$, with eigenvalues counted with multiplicity. We disprove a conjectured higher-index extension of the Payne--Pólya--Weinberger inequality that was recorded as an open problem by Ashbaugh. For every integer $m\geq3$, we construct a bounded planar domain $Ω_m$ with $C^\infty$ boundary such that $$ \frac{λ_{2m}(Ω_m)}{λ_m(Ω_m)} >\frac{13}{5} >\frac{j_{1,1}^2}{j_{0,1}^2}, $$ where $j_{ν,1}$ is the first positive zero of $J_ν$, the Bessel function of the first kind of order $ν$. For $m=3$, the annulus $\{x\in\mathbb{R}^2:1/10<|x|<1\}$ already provides such a counterexample.
发表机构
- Fudan University（复旦大学）
- University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
- Shandong University（山东大学）
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