低维非负整数矩阵的可分解性
Factorisability of Low Dimensional Non-Negative Integer Matrices
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- School of Computer Science and Mathematics, Liverpool John Moores University（利物浦约翰摩尔斯大学计算机科学与数学学院）
- School of Computing and Mathematical Sciences, Birkbeck, University of London（伦敦大学伯贝克学院计算与数学科学学院）
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中文总结 AI 辅助
本文研究二维非负整数矩阵的分解问题，定义素矩阵与合矩阵，分析判定素性与寻找分解的复杂性，并给出首个高效算法，应用于计算群论和编码理论。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑判定一个给定的二维非负整数矩阵 $M$ 是否为两个此类矩阵（排除平凡单位）的乘积的问题。不存在这种分解的矩阵 $M$ 称为素矩阵，因此它属于自然数上 $2 \ imes 2$ 矩阵的最小（无限秩）生成元；否则称为合矩阵。我们还考虑寻找合矩阵的（非唯一）分解的问题。我们的结果在计算群论和编码理论中有应用，在这些领域中此类矩阵被称为关联矩阵。我们分析了素性判定以及为合矩阵寻找分解的复杂性，并提供了第一个高效算法。
英文摘要
We consider the problem of determining if a given two-dimensional nonnegative integer matrix $M$ is the product of two such matrices, excluding trivial units. A matrix $M$ with no such factorisation is called prime and therefore belongs to the minimal (infinite rank) generator of $2 \times 2$ matrices over the natural numbers, otherwise it is called composite. We also consider the problem of finding a (non-unique) factorisation of a composite matrix. Our results have applications in computational group theory and the theory of codes, where such matrices are called incidence matrices. We analyse the complexity of primality and finding a factorisation for a composite matrix, providing a first efficient algorithm.
