AI 中文总结
本文利用限制p-分歧的阿贝尔p-扩张研究非分歧Iwasawa模X(K_∞)的结构，给出其有限或有限生成的充分条件，并应用于Q(√q)的分圆Z_2-扩张，得到X(k_∞)为循环模的充要条件及Greenberg猜想成立的充分条件。
AI 中文摘要
我们发展了 Hachimori 关于非分歧 Iwasawa 模的研究，利用具有限制 $p$-分歧的扩张。设 $K$ 为一个代数数域，$p$ 为一个在 $K$ 中分裂为两个不同素理想 $\mathfrak{p}$、$\mathfrak{p}'$ 的素数。假设 $K$ 和 $p$ 满足若干（有些严格的）条件。设 $K_\infty /K$ 为分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张。在本文中，我们给出一种利用在 $\mathfrak{p}$ 外非分歧的阿贝尔 $p$-扩张来研究非分歧 Iwasawa 模 $X (K_\infty)$ 的结构的方法。我们给出 $|X (K_\infty)|$ 有限的充分条件，该条件以这样的扩张表述。我们还给出 $X (K_\infty)$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 上有限生成的类似判据。在本文的后半部分，我们考虑 $k = \mathbb{Q} (\sqrt{q})$（其中 $q$ 为奇素数）的情形，并将我们的结果应用于分圆 $\mathbb{Z}_2$-扩张 $k_\infty /k$。我们给出 $X (k_\infty)$ 在 $\mathbb{Z}_2$ 上为循环模的充分必要条件，这与 Mouhib-Movahhedi 或 Mizusawa-Mouhib 先前给出的结果不同。我们还给出 Greenberg 猜想成立的若干充分条件。
英文摘要
We develop Hachimori's study on the unramified Iwasawa modules using extensions with restricted $p$-ramification. Let $K$ be an algebraic number field, and $p$ a prime number which splits into two distinct primes $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{p}'$ in $K$. Assume that $K$ and $p$ satisfies several (somewhat strict) conditions. Let $K_\infty /K$ be the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension. In the present paper, we give a method to study the structure of the unramified Iwasawa module $X (K_\infty)$ by using abelian $p$-extensions unramified outside $\mathfrak{p}$. We give a sufficient condition for $|X (K_\infty)|$ to be finite in terms of such extensions. We also give a similar criterion for $X (K_\infty)$ to be finitely generated over $\mathbb{Z}_p$. In the latter part of the present paper, we consider the case where $k = \mathbb{Q} (\sqrt{q})$ with an odd prime number $q$ and apply our results to the cyclotomic $\mathbb{Z}_2$-extension $k_\infty /k$. We give a necessary and sufficient condition for $X (k_\infty)$ to be cyclic over $\mathbb{Z}_2$, which is different from the former results given by either Mouhib-Movahhedi or Mizusawa-Mouhib. We also give several sufficient conditions for the validity of Greenberg's conjecture.
Comments27 pages, minor text midifications
