Birkhoff 多胞形的精确 Ehrhart 级数：通过常数项与有限域求值
Exact Ehrhart Series of Birkhoff Polytopes via Constant Terms and Finite-Field Evaluation
- School of Mathematics and Statistics, Hainan University（海南大学数学与统计学院）
- School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
- Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文提出一种利用常数项和有限域精确计算 Birkhoff 多胞形 Ehrhart 级数的方法，通过根过滤器、对称函数和广义 Todd 系数实现高效计算，并推广到 World Cup 问题，给出直至阶数 12 的完整级数。
AI中文摘要：
第 n 个 Birkhoff 多胞形的 Ehrhart 级数为 $\sum_{r\geq0}H_n(r)z^r$，其中 $H_n(r)$ 计数所有行和列和均等于 $r$ 的非负整数 $n\times n$ 矩阵。我们提出了一种利用常数项和有限域计算该级数的精确方法。一个根过滤器将 $H_n(r)$ 表示为 $h_r(M)^n$ 的加权和，其中 $h_r$ 是完全齐次对称多项式，$M$ 遍历 $m$ 次单位根的多重集（$m=r+1$）。常数项相消将 $h_r(M)$ 的求值化简为对 $M$ 中重复元素 $a$ 的求和。对于重数为 $\mu_a$ 的特定元素 $a$，计算使用次数为 $\mu_a-2$ 的广义 Todd 系数。对选定重数类别的 $h_r(M)^n$ 求和使用对称函数技术处理。结合剩余的单独求值，对于每个可接受的素数及固定的 $n\geq5$，这需要 $O_n(m^{n-5}+m^4)$ 次域运算。一个显式界和中国剩余定理恢复整数计数，Ehrhart 对称性确定完整级数。相同方法适用于 World Cup 问题，该问题计数相同矩阵但要求对角元素为 $0$。我们证明了正确性，并计算了两个族直到阶数 12 的完整级数。阶数 10--12 的 Birkhoff 级数和阶数 9--12 的 World Cup 级数列于附录中。
英文摘要：
The Ehrhart series of the $n$th Birkhoff polytope is $\sum_{r\geq0}H_n(r)z^r$, where $H_n(r)$ counts nonnegative integer $n\times n$ matrices whose row and column sums all equal $r$. We present an exact method for computing this series using constant terms and finite fields. A root filter expresses $H_n(r)$ as a weighted sum of the values $h_r(M)^n$, where $h_r$ is the complete homogeneous symmetric polynomial and $M$ ranges over multisets of $m$th roots of unity with $m=r+1$. Constant-term cancellation reduces the evaluation of $h_r(M)$ to a sum over repeated elements $a$ of $M$. For a particular $a$ of multiplicity $μ_a$, the computation uses a generalized Todd coefficient of degree $μ_a-2$. Sums of $h_r(M)^n$ over selected multiplicity classes are handled using symmetric function techniques. Together with the remaining individual evaluations, this gives $O_n(m^{n-5}+m^4)$ field operations for each admissible prime and fixed $n\geq5$. An explicit bound and the Chinese remainder theorem recover the integer counts, and Ehrhart symmetry determines the full series. The same method applies to the World Cup problem, which counts the same matrices with diagonal entries required to be $0$. We prove correctness and compute complete series for both families through order $12$. The Birkhoff series for orders $10$--$12$ and the World Cup series for orders $9$--$12$ are tabulated in the appendices.
