连分数中的无理性指数与部分商增长
Irrationality Exponents and Partial Quotient Growth in Continued Fractions
- School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）
- School of Mathematics and Systems Science, & Center for Mathematical Sciences, Wuhan University of Science and Technology（武汉科技大学数学与系统科学学院及数学科学中心）
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AI总结：
本文研究连分数展开中部分商在对数尺度下的增长率与其相对分母的上增长率之间的相互作用，确定了联合水平集的 Hausdorff 维数，推广了无理性指数与部分商增长的相关经典结果。
AI中文摘要：
设 $[a_1(x),a_2(x),\ldots,a_n(x),\ldots]$ 为无理数 $x\in[0,1)$ 的连分数展开，并设 $q_n(x)$ 为第 $n$ 个渐近分数的分母。本文研究 $a_{n+1}(x)$ 在指定对数尺度上的增长率与其相对于 $q_n(x)$ 的上增长率之间的相互作用。对于满足 $\psi:\mathbb N\to\mathbb{R}_{\ge0}$ 且 $\psi(n)\to \infty$ 的函数，以及 $\alpha, \beta\in [0, \infty]$，定义联合水平集 \\[F_{\alpha,\beta}:=\Big\{x\in [0,1)\colon \liminf_{n\to\infty}\frac{\log (a_{n+1}(x))}{\psi(n)}=\alpha,\\ \limsup_{n\to\infty}\frac{\log (a_{n+1}(x))}{\log q_n(x)}=\beta\Big\}. \\] 我们确定了对于所有 $\alpha$ 和 $\beta$ 取值时 $F_{\alpha,\beta}$ 的 Hausdorff 维数。我们的结果与连分数度量理论的若干早期结果相关，包括 Bugeaud [Math. Ann. 327 (2003)] 关于无理性指数的结果、Wang--Wu [Adv. Math. 218 (2008)] 关于部分商增长的结果，以及 Song--Tan--Zhang [Nonlinearity 37 (2024)] 关于收敛指数与无理性指数联合分布的结果。
英文摘要：
Let $[a_1(x),a_2(x),\ldots,a_n(x),\ldots]$ be the continued fraction expansion of irrational $x\in[0,1)$, and let $q_n(x)$ be the denominator of the $n$-th convergent. In this paper, we study how the growth rate of $a_{n+1}(x)$ on a prescribed logarithmic size interacts with its upper growth rate relative to $q_n(x)$. For $ψ:\mathbb N\to\mathbb{R}_{\ge0}$ satisfying $ψ(n)\to \infty$ and $α, β\in [0, \infty]$, define the joint level set \[F_{α,β}:=\Big\{x\in [0,1)\colon \liminf_{n\to\infty}\frac{\log (a_{n+1}(x))}{ψ(n)}=α,\ \limsup_{n\to\infty}\frac{\log (a_{n+1}(x))}{\log q_n(x)}=β\Big\}. \] We determine the Hausdorff dimension of $F_{α,β}$ for all values of $ α$ and $β$. Our results is related to several earlier results on the metric theory of continued fractions, including those of Bugeaud [Math. Ann. {327} (2003)] on irrationality exponents, Wang--Wu [Adv. Math. {218} (2008)] on the growth of partial quotients, and Song--Tan--Zhang [Nonlinearity {37} (2024)] on the joint distribution of convergence and irrationality exponents.
