$(3,2)$ Raney 数模素数的零游程谱
Zero-Run Spectra of the $(3,2)$ Raney numbers Modulo Primes
- National Taiwan Normal University（台湾师范大学）
- Fu-Jen Catholic University（辅仁大学）
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AI总结：
本文研究 $(3,2)$-Raney 数模素数的零游程结构，按 $p=2$、$p=3$、$p\ge5$ 三种情况分别确定了零游程长度最大值、完整谱及非零项数量，并揭示了其与 Fibbinary 整数、Fibonacci 数及多尺度余数区间的关联。
AI中文摘要：
我们研究了 $(3,2)$-Raney 数模素数 $p$ 的零游程结构。对于每个素数 $p$，我们确定了零游程长度的从左到右最大值、完整的零游程谱，以及 $0\le n<p^m$ 中非零项的精确数量。有趣的是，这些结果分为三种情况：$p=2$、$p=3$ 和 $p\geq5$，且这三种情况下的行为非常不同。对于 $p=2$，我们精确刻画了奇数项，确定了从左到右最大值的位置，结果涉及 Fibbinary 整数、Fibonacci 数和 Jacobsthal 数。对于 $p=3$，我们精确刻画了非零项并确定了它们的余数。对于 $p\ge 5$，零游程由模 $p$ 幂的余数区间的多尺度系统控制，由此获得了记录值和完整的零游程谱。
英文摘要：
We study the zero-run structure of the $(3,2)$-Raney numbers modulo a prime $p$. For every prime $p$, we determine the left-to-right maxima of the zero-run lengths, the complete zero-run spectrum, and the exact number of nonzero entries in $0\le n<p^m$. Interestingly, these results fall into three cases: $p=2$, $p=3$, and $p\geq5$, and the behaviors in these three cases are very different. For $p=2$, we characterize exactly the odd terms and determine the positions of the left-to-right maxima and the results involve Fibbinary integers, Fibonacci numbers, and Jacobsthal numbers. For $p=3$, we characterize exactly the nonzero terms and determine their residues. For $p\ge 5$, the zero runs are governed by a multiscale system of residue intervals modulo powers of $p$, from which both the record values and the complete zero-run spectrum are obtained.
