关于截断五边形数级数的正性及Merca的一些猜想
On the positivity of truncated pentagonal number series and some conjectures of Merca
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中文总结 AI 辅助
本文通过将指数映射视为动力系统并利用轨道伸缩技术，证明了Merca关于截断五边形数级数非负性的四个猜想，提供了与Pólya--Szegő准则互补的新方法。
中文摘要 AI 辅助
设 $\nu_2(m)$ 表示正整数 $m$ 的 $2$-进赋值，并令 $N_m=m\bigl(1+\nu_2(m)/2\bigr)$。我们证明了Merca关于由无限乘积 $\prod_{m\ge 1}(1-q^{2N_m})$ 和 $\prod_{r\ge 1}\bigl(q^{2^r r};q^{2^{r+1}r}\bigr)_\infty$ 加权的截断五边形数级数的非负性的四个猜想。我们的方法是将指数映射 $m\mapsto m(\nu_2(m)+2)$ 视为正整数上的动力系统：相关商式的因子沿其前向轨道链接成链，而以 $1$、$4$ 和 $5$ 为种子的三个轨道两两不相交，并伸缩求和恰好为 $1/\bigl((1-q)(1-q^4)(1-q^5)\bigr)$。指数三元组 $(1,4,5)$ 在Liu早期工作的意义下是可容许的，这给出了所需的分解为两个具有非负系数的级数。这种轨道伸缩技术似乎是一种与Pólya--Szegő准则互补的机制，而该准则支撑了文献中此类大多数现有的正性结果。
英文摘要
Let $ν_2(m)$ denote the $2$-adic valuation of a positive integer $m$ and set $N_m=m\bigl(1+ν_2(m)/2\bigr)$. We prove four conjectures of Merca on the nonnegativity of truncated pentagonal number series weighted by the infinite products $\prod_{m\ge 1}(1-q^{2N_m})$ and $\prod_{r\ge 1}\bigl(q^{2^r r};q^{2^{r+1}r}\bigr)_\infty$. Our method is to regard the exponent map $m\mapsto m(ν_2(m)+2)$ as a dynamical system on the positive integers: the factors of the associated quotient link into chains along its forward orbits, and the three orbits seeded at $1$, $4$ and $5$ are pairwise disjoint and telescope to exactly $1/\bigl((1-q)(1-q^4)(1-q^5)\bigr)$. The exponent triple $(1,4,5)$ is admissible in the sense of earlier work by Liu, which yields the desired factorization into two series with nonnegative coefficients. This orbit telescoping technique appears to be a mechanism complementary to the Pólya--Szeg\H o criterion that underlies most existing positivity results of this kind in the literature.
发表机构
- Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
- Assam Skill University（阿萨姆技能大学）
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