发表机构
University of Chinese Academy of Sciences; Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学; 中国科学院数学与系统科学研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明 Scott-Vogelius 元在 Freudenthal 网格上对所有速度次数 k≥4 均满足 inf-sup 稳定性，解决了 Farrell 等人 2024 年提出的猜想，证明采用局部显式构造，无需计算机验证。
AI 中文摘要
Scott-Vogelius 元是 Stokes 问题的一种经典的无散度混合有限元，已引起数十年的研究关注，但其理论框架仍不完整。在二维情形下，其在 Freudenthal 网格及其他正则网格上的 inf-sup 稳定性已被严格证明。在三维情形下，Zhang 于 2011 年证明了 $k\ge6$ 时 Freudenthal 网格上的 inf-sup 稳定性，而数值证据表明 $k=4,5$ 时 inf-sup 稳定性仍然成立。本文中，我们强化了 Zhang 的方法，并证明了 Scott-Vogelius 元在 Freudenthal 网格上对所有速度次数 $k\ge 4$ 都是 inf-sup 稳定的，从而解决了 Farrell、Mitchell 和 Scott 于 2024 年提出的一个猜想。证明通过对局部补丁的显式构造进行，不依赖计算机验证。
英文摘要
The Scott-Vogelius element is a classical divergence-free mixed finite element for the Stokes problem that has attracted decades of research attention, yet its theoretical framework remains incomplete. In two dimensions, the inf-sup stability on Freudenthal and other regular meshes has been rigorously established. In three dimensions, Zhang established inf-sup stability on Freudenthal meshes for $k\ge6$ in 2011, while numerical evidence indicates that inf-sup stability remains true for $k=4,5$. In this paper, we strengthen Zhang's approach and prove that the Scott--Vogelius element is inf-sup stable on Freudenthal meshes for every velocity degree $k\ge 4$, thereby resolving a conjecture proposed by Farrell, Mitchell, and Scott in 2024. The proof proceeds by explicit constructions on local patches and does not rely on computer verification.
Comments26 pages, 7 figures
