发表机构
Nanyang Normal University; Dalian University of Technology（南阳师范学院; 大连理工大学）
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本文研究拟齐次子模 $[z^k-w^\ell]$ 的 Yang 高阶数值不变量，通过加权齐次分解构造正交基，得到完整序列，其下降集决定加法半群，序列决定无序参数对。
AI 中文摘要
我们研究拟齐次子模族 $M_{k,\ell}=[z^k-w^\ell]\subset H^2(\mathbb D^2)$（其中 $k,\ell\in\mathbb N$ 且 $k\neq\ell$）的 Yang 高阶数值不变量。该族的 Hilbert--Schmidt 性质和低阶不变量 $\Sigma_0$ 与 $\Sigma_1$ 可由先前关于 $M_{\theta,\varphi}$ 型子模的结果得出。我们的目标是确定完整的高阶序列。利用与 $z^k-w^\ell$ 相关的加权齐次分解，我们为两个亏格空间构造了显式标准正交基，并确定了移位亏格内积的精确支集。对于 $j\geq1$，设 $A_j=\left\lceil\frac{j}{\ell}\right\rceil$，$B_j=\left\lceil\frac{j}{k}\right\rceil$。我们得到 $\Sigma_0(M_{k,\ell})=\frac{\pi^2}{6}$，$\Sigma_j(M_{k,\ell})=F(A_j,B_j)$，其中 $F$ 是 $\mathbb N^2$ 上显式求值的对称函数。该序列非增、趋于零，且满足 $\Sigma_j>\Sigma_{j+1} \Longleftrightarrow k\mid j\\ \text{或}\\ \ell\mid j$。因此其严格下降集为 $k\mathbb N\cup\ell\mathbb N$。该下降集决定加法半群 $\langle k,\ell\rangle$，而完整数值不变量序列决定无序对 $\{k,\ell\}$。由于坐标交换对称性，两个指数的顺序不可恢复。
英文摘要
We study Yang's higher numerical invariants for the quasi-homogeneous submodules \[ M_{k,\ell}=[z^k-w^\ell]\subset H^2(\mathbb D^2), \qquad k,\ell\in\mathbb N,\quad k\neq\ell. \] The Hilbert--Schmidt property and the low-order invariants $Σ_0$ and $Σ_1$ for this family follow from earlier results on $M_{θ,φ}$-type submodules. Our aim is to determine the complete higher-order sequence. Using the weighted homogeneous decomposition associated with $z^k-w^\ell$, we construct explicit orthonormal bases for the two defect spaces and determine the exact support of the shifted defect inner products. For $j\geq1$, set \[ A_j=\left\lceil\frac{j}{\ell}\right\rceil, \qquad B_j=\left\lceil\frac{j}{k}\right\rceil. \] We obtain \[ Σ_0(M_{k,\ell})=\frac{π^2}{6}, \qquad Σ_j(M_{k,\ell})=F(A_j,B_j), \] where $F$ is an explicitly evaluated symmetric function on $\mathbb N^2$. The sequence is nonincreasing, tends to zero, and satisfies $Σ_j>Σ_{j+1} \Longleftrightarrow k\mid j\ \text{or}\ \ell\mid j$. Hence its strict descent set is $k\mathbb N\cup\ell\mathbb N$. This descent set determines the additive semigroup $\langle k,\ell\rangle$, while the complete numerical invariant sequence determines the unordered pair $\{k,\ell\}$. The order of the two exponents is not recoverable because of coordinate-swap symmetry.
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