AI 中文总结
本文推广了莫比乌斯函数的递归公式，用任意算术函数替换最大整数函数，定义新函数族，并证明其值为-1当且仅当参数为素数，从而给出素数的代数刻画。
AI 中文摘要
我们引入了对莫比乌斯函数 $\u03bc(n) = 1-n-\u2211_{d=2}^{n-1}\u03bc(d)\u300a n/d \u300b$ 的递归公式的一个广泛推广，该公式归功于 George Spencer-Brown。通过将这一经典递推中的最大整数函数 $\u300a n/d \u300b$ 替换为任意算术函数 $f(\u300a n/d \u300b)$，其中 $f(1)=1$，我们定义了一个新的广义函数族，记为 $\u2605(n)$。我们证明了 $\u2605(p) = -1$ 当且仅当 $p$ 是素数。这一结果给出了素数的一个令人惊讶的代数刻画，并揭示了除数求和与最大整数函数之下深层结构性质。
英文摘要
We introduce a broad generalization of a recursive formula for the Möbius function $μ(n) = 1-n-\sum_{d=2}^{n-1}μ(d)\left[\frac{n}{d}\right]$ due to George Spencer-Brown. By replacing the greatest integer function $\left[\frac{n}{d}\right]$ in this classical recurrence with an arbitrary arithmetic function $f\left(\left[\frac{n}{d}\right]\right)$ with $f(1)=1$, we define a new generalized family of functions, denoted $\star(n)$. We prove that $\star(p) = -1$ if and only if $p$ is prime. This result yields a surprising algebraic characterization of primes and reveals a deep structural property underlying divisor sums and the greatest integer function.
