k 次独立位的最优支撑的反射
Reflection of optimal supports for k-wise independent bits
AI总结：
针对偶数 k，通过反射恒等式证明 k 次独立位最优支撑的异常点反射猜想，方法为拉格朗日插值与二项式重加权。
AI中文摘要：
对于偶数 k，我们推导了在所有 n 个 k 次独立伯努利变量等于 1 的概率最大化问题中，基本计数分布的一个反射恒等式。在分离出特殊节点 n 之后，其他支撑节点通过映射 s -> n-1-s 反射，同时伯努利参数从 p 变为 1-p。相应的基本权重相差一个显式的正因子。因此，内部可行集以及最优支撑及其重数的局部变化被反射。这给出了 Berend、Ernst、Kontorovich 和 Kumar 的猜想 5.11 中异常点反射的证明。该论证使用了拉格朗日插值和一个初等的二项式重新加权恒等式；它不需要对可行集的排序或连通性进行猜想。
英文摘要：
For even k, we derive a reflection identity for the basic count distributions in the problem of maximizing the probability that all n k-wise independent Bernoulli variables equal one. After separating the distinguished node n, the other support nodes reflect by s -> n-1-s while the Bernoulli parameter changes from p to 1-p. Corresponding basic weights differ by an explicit positive factor. Thus interior feasibility sets, and local changes of optimal support with their multiplicities, are reflected. This gives a proof of the exceptional-point reflection in Conjecture 5.11 of Berend, Ernst, Kontorovich and Kumar. The argument uses Lagrange interpolation and an elementary binomial reweighting identity; it does not require a conjectured ordering or connectedness of the feasibility sets.
