关于特征值扰动相关猜想的研究

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在特征值扰动界的相关研究中，Li [Linear Algebra Appl., 278 (1998), pp. 317-326] 提出了三个涉及 Hadamard 乘积的最小化问题。第三个问题询问如何关联 $$ \nmin_{W\\ \mathrm{nonsingular}}\\|W\circ G\\|_\mathrm{ui}\\,\\|W^{-1}\circ G^\mathrm{T}\\|_\mathrm{ui} \quad\mbox{和}\quad \min_{P\\ \mathrm{permutation}}\\|P\circ G\\|_\mathrm{ui}^2, $$ 其中 $\\|\cdot\\|_\mathrm{ui}$ 表示酉不变范数，$\circ$ 表示 Hadamard 乘积，即逐元素乘法。第一个量永远不会超过第二个量，并且猜想存在一个与矩阵大小无关的常数的反向不等式。Romeo 和 Tilli [Linear Algebra Appl., 326 (2001), pp. 161-172] 表明，如果这样的界对所有 $G$ 都成立，那么 $\\|\cdot\\|_\mathrm{ui}$ 必须与 Frobenius 范数 $\\|\cdot\\|_\mathrm{F}$ 一致等价。我们证明当 $\\|\cdot\\|_\mathrm{ui}=\\|\cdot\\|_\mathrm{F}$ 时，这两个量相等：对于每个复矩阵 $G$，$$ \min_{W\\ \mathrm{nonsingular}} \\|W\circ G\\|_\mathrm{F}\\,\\|W^{-1}\circ G^\mathrm{T}\\|_\mathrm{F} =\min_{P\\ \mathrm{permutation}}\\|P\circ G\\|_\mathrm{F}^2. $$ 因此，相关猜想以最优常数 $c=1$ 成立。

英文摘要

In connection with eigenvalue perturbation bounds, Li [Linear Algebra Appl., 278 (1998), pp. 317-326] formulated three minimization problems involving Hadamard products. The third asks how to relate $$ \min_{W\ \mathrm{nonsingular}}\|W\circ G\|_\mathrm{ui}\,\|W^{-1}\circ G^\mathrm{T}\|_\mathrm{ui} \quad\mbox{and}\quad \min_{P\ \mathrm{permutation}}\|P\circ G\|_\mathrm{ui}^2, $$ where $\|\cdot\|_\mathrm{ui}$ denotes a unitarily invariant norm and $\circ$ denotes the Hadamard product, i.e., entrywise multiplication. The first quantity never exceeds the second, and a reverse inequality with a constant independent of the matrix size was conjectured. Romeo and Tilli [Linear Algebra Appl., 326 (2001), pp. 161-172] showed that if such a bound holds for every $G$, then $\|\cdot\|_\mathrm{ui}$ must be uniformly equivalent to the Frobenius norm $\|\cdot\|_\mathrm{F}$. We prove that the two quantities coincide when $\|\cdot\|_\mathrm{ui}=\|\cdot\|_\mathrm{F}$: for every complex matrix $G$, $$ \min_{W\ \mathrm{nonsingular}} \|W\circ G\|_\mathrm{F}\,\|W^{-1}\circ G^\mathrm{T}\|_\mathrm{F} =\min_{P\ \mathrm{permutation}}\|P\circ G\|_\mathrm{F}^2. $$ The associated conjecture therefore holds with the optimal constant $c=1$.

发表机构

• Soochow University（苏州大学）
• University of Texas at Arlington（德克萨斯大学阿灵顿分校）

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