发表机构
Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe, UTIAS, University of Tokyo; École normale supérieure, Université PSL; Center for Data-Driven Discovery (CD3), Kavli IPMU, University of Tokyo; Department of Physics, Graduate School of Science, University of Tokyo; Trans-Scale Quantum Science Institute, University of Tokyo; Center for Interdisciplinary Theoretical and Mathematical Sciences, RIKEN（宇宙物理与数学研究所，UTIAS，东京大学; 巴黎高等师范学院，PSL大学; 数据驱动发现中心（CD3），卡弗里IPMU，东京大学; 东京大学理学研究科物理学系; 东京大学跨尺度量子科学研究所; RIKEN交叉理论数学科学中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文计算了具有 $E_6$、$E_7$、$E_8$ 模不变量的 Virasoro 极小模型的体 OPE 系数，通过约化为有限代数问题并用计算机辅助验证存在唯一性，提供了系数表。
AI 中文摘要
我们给出了每个具有 $E_6$、$E_7$ 或 $E_8$ 模不变量的 Virasoro 极小模型的体主算子乘积（OPE）系数。除以手征广义极小模型 OPE 系数的通用乘积后，共形自举问题被约化为一个由单位根量子群 $6j$ 符号控制的有限代数问题。OPE 系数的例外因子可以选取为与第二 Kac 指标 $s$ 无关，并且它们对中心荷的依赖约化为有限多个参考情形和显式相位。一个有限计算机辅助计算产生了候选代数 $s=1$ 种子数据，并提供了关于存在性和唯一性（模去主算子符号）的高精度数值证据。我们证明了这些种子的精确存在性和唯一性蕴含了在亏格零体局域性和交叉方程中所有 Kac 标签的相应结果；有限种子步骤仍未经过认证。这三个族分别需要 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 的 $18$、$32$ 和 $107$ 个代表性约化 OPE 系数。我们提供了幺正和非幺正模型的重建约定和系数表。我们的计算仅假设 Virasoro 对称性、体局域性（置换对称性）和 OPE 结合性（交叉方程）。
英文摘要
We present bulk-primary operator-product coefficients for every Virasoro minimal model with an $E_6$, $E_7$, or $E_8$ modular invariant. Dividing by a universal product of chiral generalized-minimal-model OPE coefficients reduces the conformal bootstrap problem to a finite algebraic problem governed by root-of-unity quantum-group $6j$ symbols. The exceptional factors of the OPE coefficients can be chosen independent of the second Kac indices $s$, and their dependence on the central charge reduces to finitely many reference cases and explicit phases. A finite computer-assisted calculation yields candidate algebraic $s=1$ seed data and high-precision numerical evidence for existence and uniqueness modulo primary-field signs. We prove that exact existence and uniqueness for these seeds imply the corresponding result for all Kac labels within the genus-zero bulk locality and crossing equations; the finite seed step remains uncertified. The three families require $18$, $32$, and $107$ representative reduced OPE coefficients for $E_6$, $E_7$, and $E_8$, respectively. We provide reconstruction conventions and coefficient tables for both unitary and nonunitary models. Our calculation assumes only Virasoro symmetry, bulk locality (permutation symmetry) and OPE associativity (crossing equations).
Comments41 + 24 pages, 5 figures, 16 tables (including the OPE coefficient tables), ancillary code included
