发表机构
Ghent University; Max Planck Institute for Mathematics（根特大学; 马克斯·普朗克数学研究所）
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本文引入幺半 Gröbner 系统作为线性幺半范畴中 Gröbner 基的推广，应用于仿射 Brauer 型范畴，给出判定准则并证明基定理，构造新例子并分类简单表示的范畴。
AI 中文摘要
我们为线性（超）幺半范畴引入了 Gröbner 基的类似物，或等价地，Bergman 菱形引理。它提供了一种系统的方法来研究幺半理想并证明基定理。中心概念是幺半 Gröbner 系统，它基于高阶线性重写理论。然后我们将该理论应用于仿射 Brauer 型范畴：线性（超）幺半范畴，其同态基与仿射 Brauer 范畴相同，但可能具有不同的复合和张量积。我们的主要结果是判定一个范畴是否为仿射 Brauer 型的准则，将该问题简化为一个显式的局部计算列表，我们在计算机代数系统 FORM 中部分实现了该列表。这为仿射 Brauer 范畴、nil-Brauer 范畴和仿射 VW 超范畴的基定理提供了新的组合证明，并产生了新的例子。特别地，我们构造了奇数 nil-Brauer 范畴，它是分裂秩一 $\imath$ 量子群的猜想性超范畴化，以及量子化仿射 VW 超范畴，其非仿射部分是量子化 periplectic Brauer 范畴，我们期望它满足更高的量子 Schur--Weyl 对偶性。最后，我们分类了具有足够简单表示的仿射 Brauer 型范畴。
英文摘要
We introduce an analogue of Gröbner bases, or equivalently, Bergman's diamond lemma, for linear (super)monoidal categories. It gives a systematic way to study monoidal ideals and to prove basis theorems. The central notion is that of a monoidal Gröbner system and is based on higher linear rewriting theory. We then apply the theory to categories of affine Brauer type: linear (super)monoidal categories that have the same hom-basis as the affine Brauer category, but possibly distinct composition and tensor product. Our main result is a criterion for a category to be of affine Brauer type, reducing the question to an explicit list of local computations, which we partially implement in the computer algebra system FORM. This gives new combinatorial proofs of the basis theorems for the affine Brauer category, the nil-Brauer category and the affine VW supercategory, and yields new examples. In particular, we construct the odd nil-Brauer category, a conjectural supercategorification of the split $\imath$quantum group of rank one, and the quantized affine VW supercategory, whose non-affine part is the quantized periplectic Brauer category and which we expect to satisfy a higher quantum Schur--Weyl duality. Finally, we classify the categories of affine Brauer type admitting a sufficiently simple presentation.
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