理想化中的理想结构与零化理想的基数
Ideal Structures in Idealizations and Cardinalities of Annihilating Ideals
- Jundi-Shapur University of Technology（詹迪沙普尔理工大学）
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AI总结：
本文通过三元组刻画理想化$D\ltimes M$的理想结构，证明整环上非零零化理想恰为$0\ltimes N$，并给出具体环中零化理想可数而全体理想基数为$2^{\aleph_0}$的结论，否定了一个公开问题。
AI中文摘要：
我们通过三元组$(I,N,\varphi)$描述理想化$D\ltimes M$的理想，其中$I$是$D$的理想，$N$是$M$的子模且满足$IM\subseteq N$，并且$\varphi\in\operatorname{Hom}_D(I,M/N)$。对于整环$D$和挠自由模$M$，$D\ltimes M$的具有非零零化子的非零真理想恰好是$0\ltimes N$。作为应用，对于$R=\mathbb R[[t]]\ltimes\mathbb R[[t]]$，非零真零化理想构成一个可数集，而所有非零真理想的集合的基数为$2^{\aleph_0}$。这否定了Behboodi和Rakeei的一个问题。
英文摘要：
We describe the ideals of an idealization $D\ltimes M$ by triples $(I,N,φ)$, where $I$ is an ideal of $D$, $N$ is a submodule of $M$ with $IM\subseteq N$, and $φ\in\operatorname{Hom}_D(I,M/N)$. For a domain $D$ and torsion-free $M$, the nonzero proper ideals of $D\ltimes M$ with nonzero annihilator are exactly $0\ltimes N$. As an application, for $R=\mathbb R[[t]]\ltimes\mathbb R[[t]]$, the nonzero proper annihilating ideals form a countable set, while the set of all nonzero proper ideals has cardinality $2^{\aleph_0}$. This answers negatively a question of Behboodi and Rakeei.
