发表机构
Università di Bologna; Istituto Nazionale di Alta Matematica (INDAM)（博洛尼亚大学; 意大利高等数学研究所）
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本文证明 Niemiec 万有赋值阿贝尔群具有 Lévy、强异类、极可均等性质，并证明 $\mathbb{G}_r(0)$ 单生成，从而在 Urysohn 球面上构造出单生成群结构。
AI 中文摘要
我们证明了 Niemiec 构造的万有赋值阿贝尔群 $\mathbb{G}_r(N)$ 的各种性质，其中 $r\in\{1,\infty\}$ 且 $N\in\{0,2,3,\ldots\}$。首先，我们证明对于 $N=0$ 时的 $\Gamma_0=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 或 $N\geq 2$ 时的 $\Gamma_N=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$，在关于一个泛不变度量（当 $r=1$ 时以 $1$ 为界）的完备化，与 $\mathbb{G}_r(N)$ 是等距群同构的，这恢复了 Doucha 在 $r=\infty$ 且 $N=0$ 情形下的结果，并证实了 Doucha 对群 $\Gamma_N$ 的一个预期。我们将此泛性结果与 Melleray 和 Tsankov 关于可数群的泛完备化的极可均性的判据相结合，得到 $\mathbb{G}_r(N)$ 的极可均性。然后我们建立了更强的性质：这些群是 Lévy 群和强异类群。最后我们证明 $\mathbb{G}_r(0)$ 也是单生成的，由此得到 Urysohn 球面上存在单生成群结构，给出了 Cameron 和 Vershik 结果的有界版本，并回答了 Niemiec 的一个问题。
英文摘要
We prove various properties of the universal valued Abelian groups $\mathbb{G}_r(N)$ constructed by Niemiec, for $r\in\{1,\infty\}$ and $N\in\{0,2,3,\ldots\}$. First we show that the completion of $Γ_0=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (for $N=0$) or $Γ_N=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (for $N\geq 2$) with respect to a generic invariant metric, bounded by $1$ when $r=1$, is isometrically group-isomorphic to $\mathbb{G}_r(N)$, recovering a result of Doucha in the case when $r=\infty $ and $N=0$. This confirms an expectation of Doucha for the group $Γ_N$. We combine this genericity result with a criterion of Melleray and Tsankov concerning the extreme amenability of the generic completion of a countable group to obtain the extreme amenability of $\mathbb{G}_r(N)$. We then establish the strictly stronger properties that these groups are Lévy and strongly exotic. We conclude by showing that $\mathbb{G}_r(0)$ is also monothetic, from which we obtain the existence of a monothetic group structure on the Urysohn sphere, giving a bounded version of a result by Cameron and Vershik and answering a question of Niemiec.
