关于零熵系统的不交性与 $\mathscr{F}$-乘积回复性
On disjointness and $\mathscr{F}$-product recurrence with respect to zero entropy systems
- School of Mathematics and Statistics, Guizhou University of Finance and Economics（贵州财经大学数学与统计学院）
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AI总结：
本文研究零熵系统的不交性与 $\mathscr{F}$-乘积回复性，证明了相关等价关系，并构造例子分别肯定和否定地回答了两个开放问题。
AI中文摘要：
本文研究关于零熵系统的不交性与 $\mathscr{F}$-乘积回复性。首先，我们证明，对于轨道闭包具有零拓扑熵的点，有 distality $\rightleftharpoons$ $\Finf\PRzero$ $\rightleftharpoons$ $\Fpubd\PRzero$ $\rightleftharpoons$ $\Fps\PRzero$ $\rightovernotleft$ $\Fs\PRzero$。我们还构造了一个具有一致正熵的极小拓扑动力系统，它与所有零熵 $M$-系统不交，但与某个零熵 $E$-系统不交，即 $\Ezero^{\perp}\subsetneq \Mzero^{\perp}$，这肯定地回答了 W.~Huang、K.~K. Park 和 X.~Ye 在《Bull. Soc. Math. France》135卷（2007年）259-282页提出的一个问题。此外，同样的构造表明存在一个 $\Fps\PRzero$ 点不是 $\Fpubd\PRzero$，即 $\Fps\PRzero$ 不蕴含 $\Fpubd\PRzero$，这否定地回答了 P.~Oprocha 和 G.~H. Zhang 在《Adv. Math.》244卷（2013年）395-412页提出的一个问题。
英文摘要：
This paper studies disjointness and \(\mathscr{F}\)-product recurrence with respect to zero-entropy systems. First, we prove that, for a point whose orbit closure has zero topological entropy, \[ \text{distality}\rightleftharpoons \Finf\PRzero\rightleftharpoons \Fpubd\PRzero \rightleftharpoons \Fps\PRzero \rightovernotleft \Fs\PRzero. \] We also construct a minimal topological dynamical system with uniform positive entropy which is disjoint from all zero-entropy \(M\)-systems but is not disjoint from some zero-entropy \(E\)-system, i.e., \(\Ezero^{\perp}\subsetneq \Mzero^{\perp}\), giving an affirmative answer to a question of \cite[W.~Huang, K.~K. Park and X.~Ye, Topological disjointness from entropy zero systems, Bull. Soc. Math. France \textbf{135} (2007), 259--282]. Moreover, the same construction shows that there exists an \(\Fps\PRzero\) point which is not \(\Fpubd\PRzero\), i.e., $\Fps\PRzero$ $\nRightarrow \Fpubd\PRzero$, giving a negative answer to a question of \cite[P.~Oprocha and G.~H. Zhang, On weak product recurrence and synchronization of return times, Adv. Math. \textbf{244} (2013), 395--412].
