顶点线性阈值：关于最终 Turán 优图与簇方法
A Vertex-Linear Threshold for Eventually Turán good and the Cluster Method
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中文总结 AI 辅助
本文证明每个至少有一条边的图 $H$ 在 $r\ge Cv(H)$ 时是严格 $K_{r+1}$-Turán 优图，将已知阈值从 $O(v(H)^9)$ 降至线性，并基于聚合物模型的新簇方法推广了色多项式单调性结果。
中文摘要 AI 辅助
一个图 $H$ 被称为 $K_{r+1}$-Turán 优图，如果对于每个足够大的 $n$，Turán 图 $T_r(n)$ 在所有 $n$ 个顶点的 $K_{r+1}$-自由图中最大化 $H$ 的副本数；并且当这个极值图唯一时，它被称为严格 $K_{r+1}$-Turán 优图。Morrison、Nir、Norin、Rzążewski 和 Wesolek 证明了对于每个至少有一条边的图 $H$，当 $r\ge 300v(H)^9$ 时，$H$ 是 $K_{r+1}$-Turán 优图。他们询问上述界是否可以降低到 $v(H)$ 的二次阶。在本文中，我们肯定地回答了他们的提问，并给出了一个更强的结果。我们证明存在一个绝对常数 $C>0$，使得每个至少有一条边的图 $H$ 在 $r\ge Cv(H)$ 时都是严格 $K_{r+1}$-Turán 优图。我们的证明使用了一种基于聚合物模型的、本质上不同的簇方法。除了证明顶点线性 Turán 优阈值外，该方法似乎还有进一步的应用。作为一个例子，我们证明对于每个至少有一条边的图 $H$，归一化色多项式 $P_H(x)/x^{v(H)}$ 对于每个实数 $x\ge C\Delta(H)$ 严格递增，这加强了先前的最佳结果（其中 $x\ge C\Delta(H)^{3/2}$）。这证明了 Fadnavis 的一个猜想。
英文摘要
A graph $H$ is $K_{r+1}$-Turán-good if, for every sufficiently large $n$, the Turán graph $T_r(n)$ maximizes the number of copies of $H$ among all $n$-vertex $K_{r+1}$-free graphs, and it is strictly $K_{r+1}$-Turán-good when this extremal graph is unique. Morrison, Nir, Norin, Rzążewski and Wesolek proved that for every graph $H$ with at least one edge, when $r\ge 300v(H)^9$, $H$ is $K_{r+1}$-Turán-good. They asked whether the above bound could be reduced to quadratic order in $v(H)$. In this paper, we answer their question affirmatively, and give a stronger result. We prove that there is an absolute constant $C>0$ such that every graph $H$ with at least one edge is strictly $K_{r+1}$-Turán-good whenever $r\ge Cv(H)$. Our proof uses a substantially different cluster method based on polymer models. Besides proving the vertex-linear Turán-good threshold, this method appears to have further applications. As one illustration, we prove that for every graph $H$ with at least one edge, the normalized chromatic polynomial $P_H(x)/x^{v(H)}$ is strictly increasing for every real $x\ge CΔ(H)$, which strengthens the previously best result where $x\ge CΔ(H)^{3/2}$. This proves a conjecture of Fadnavis.
