发表机构
Cornell University（康奈尔大学）
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针对多参数特征值问题，提出首个轮廓方法，基于新留数公式推广Beyn定理到多变量，可计算指定区域内所有特征值，避免大矩阵构造且可并行，数值实验验证了有效性。
AI 中文摘要
多参数特征值问题出现在边值问题、稳定性分析和延迟微分方程中。尽管它们很重要，但现有方法要么需要求解极大的全局问题，要么依赖只能一次恢复少数几个特征值的局部迭代技术。在这项工作中，我们开发了第一个用于解析多参数特征值问题的轮廓方法。关键的理论成分是多元矩阵值解析函数的新留数公式，将Beyn基于Keldysh的亚纯算子函数留数定理推广到多个复变量。利用这一点，我们推导出Beyn轮廓方法的多维类似物，该方法计算包含在$\mathbb{C}^d$的指定区域中的多参数特征值问题的所有特征值。所得到的算法针对区域内的特征值，而无需构造庞大得离谱的矩阵，并且是令人尴尬地可并行化的。数值实验表明，我们现在可以成功解决现有方法难以应对的应用中出现的大型多参数问题。
英文摘要
Multiparameter eigenvalue problems arise in boundary value problems, stability analysis, and delay-differential equations. Despite their importance, existing methods either require solving extremely large global problems or rely on local iterative techniques that only recover a few eigenvalues at a time. In this work we develop the first contour method for analytic multiparameter eigenvalue problems. The key theoretical ingredient is a new residue formula for multivariate matrix-valued analytic functions, extending Beyn's Keldysh-based residue theorem for meromorphic operator functions to several complex variables. Using this, we derive a multidimensional analogue of Beyn's contour method that computes all the eigenvalues of a multiparameter eigenvalue problem contained in a prescribed region of $\mathbb{C}^d$. The resulting algorithm targets eigenvalues in a region without constructing preposterously large matrices and is embarrassingly parallelizable. Numerical experiments demonstrate that we can now successfully solve large multiparameter problems arising in applications where existing approaches struggle.
